Prove que cada uma das seguintes funções é limitada no intervalo indicado:
em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é limitada em
.
Lembrando que uma função é limitada num domínio
se existe
tal que
Lembrando que uma função
Passo 2
Observe que o numerador satisfaz a desigualdade clássica do cosseno:
Passo 3
Reescrevendo o denominador por completamento de quadrado, temos
Como
, segue que
Passo 4
Juntando as duas estimativas:
Logo, basta tomar
para concluir que
ou seja,
é limitada em todo o eixo real.
Resposta
A função é limitada pois
para todo
.