Prove que cada uma das seguintes funções é limitada no intervalo indicado:
f(x)=\frac{\cos (x)}{x^{2}-2 x+2} \quad em \quad(-\infty, \infty)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\frac{\cos(x)}{x^{2}-2x+2}
é limitada em (-\infty,\infty).
Lembrando que uma função f é limitada num domínio D se existe M>0 tal que
|f(x)|\le M \quad \text{para todo }x\in D.

Passo 2

Observe que o numerador satisfaz a desigualdade clássica do cosseno:
|\cos(x)|\le1 \quad \text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Reescrevendo o denominador por completamento de quadrado, temos
x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.
Como (x-1)^{2}\ge0, segue que
(x-1)^{2}+1\ge1 \quad \text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Juntando as duas estimativas:
|f(x)|=\frac{|\cos(x)|}{(x-1)^{2}+1} \le\frac{1}{(x-1)^{2}+1}\le1.
Logo, basta tomar M=1 para concluir que
|f(x)|\le1 \quad \forall\,x\in(-\infty,\infty),
ou seja, f é limitada em todo o eixo real.

Resposta

A função é limitada pois \bigl|f(x)\bigr|\le1 para todo x\in(-\infty,\infty).

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