Prove que cada uma das transformações abaixo é linear.
T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(p)=\left(\int_{-1}^{0} p(t) d t, \int_{0}^{1} p(t) d t\right).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear candidata T:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(p)=\left(\int_{-1}^{0} p(t)\,dt,\;\int_{0}^{1} p(t)\,dt\right),
onde \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 3.
O que o exercício pede: provar que T é linear, ou seja, verificar que T satisfaz as propriedades exigidas para toda p,q\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}:
\text{(i) } T(p+q)=T(p)+T(q),\qquad \text{(ii) } T(\alpha p)=\alpha\,T(p).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O domínio é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
  • A imagem é um vetor em \mathbb{R}^{2} com as duas componentes sendo integrais definidas de p em intervalos [-1,0] e [0,1].
  • A operação usada na definição de T é a integral definida aplicada a polinômios.

Passo 2

Definição e estratégia (explicando didaticamente).
Uma transformação T entre espaços vetoriais é linear se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, isto é, se (i) e (ii) acima valem para todos os vetores e escalares. Para provar que T é linear eu vou mostrar essas duas propriedades diretamente usando propriedades básicas da integral definida. Não é necessário calcular integrais concretas; basta usar a linearidade da integral (propriedade fundamental que vale para funções integráveis, e no nosso caso vale a fortiori para polinômios).

Passo 3

Propriedade usada: linearidade da integral.
Explicando por que podemos usar: para funções integráveis f e g e escalar \alpha vale
\int_{a}^{b} (f(t)+g(t))\,dt=\int_{a}^{b} f(t)\,dt+\int_{a}^{b} g(t)\,dt
e
\int_{a}^{b} (\alpha f(t))\,dt=\alpha\int_{a}^{b} f(t)\,dt.
Motivo intuitivo e simples (para polinômios): polinômios têm antiderivadas obtidas termo a termo (por exemplo, se p(t)=a t^{3}+b t^{2}+c t+d então uma antiderivada é P(t)=\tfrac{a}{4}t^{4}+\tfrac{b}{3}t^{3}+\tfrac{c}{2}t^{2}+d t), e a operação de tomar antiderivada é linear com respeito à soma e multiplicação por escalar; aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo preserva essa linearidade nas integrais definidas. Então podemos usar as igualdades acima sem medo quando integrarmos polinômios.

Passo 4

Verificação da aditividade T(p+q)=T(p)+T(q).
Sejam p,q\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Então, por definição de T,
T(p+q)=\left(\int_{-1}^{0} (p(t)+q(t))\,dt,\;\int_{0}^{1} (p(t)+q(t))\,dt\right).
Aplicando a linearidade da integral coordenada a coordenada obtemos
\int_{-1}^{0} (p(t)+q(t))\,dt=\int_{-1}^{0} p(t)\,dt+\int_{-1}^{0} q(t)\,dt
e
\int_{0}^{1} (p(t)+q(t))\,dt=\int_{0}^{1} p(t)\,dt+\int_{0}^{1} q(t)\,dt.
Portanto
T(p+q)=\left(\int_{-1}^{0} p(t)\,dt+\int_{-1}^{0} q(t)\,dt,\;\int_{0}^{1} p(t)\,dt+\int_{0}^{1} q(t)\,dt\right).
Agrupando coordenadas isso é exatamente
T(p+q)=\left(\int_{-1}^{0} p(t)\,dt,\;\int_{0}^{1} p(t)\,dt\right)+\left(\int_{-1}^{0} q(t)\,dt,\;\int_{0}^{1} q(t)\,dt\right)=T(p)+T(q).

Passo 5

Verificação da homogeneidade T(\alpha p)=\alpha\,T(p).
Seja \alpha\in\mathbb{R} e p\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Pela definição,
T(\alpha p)=\left(\int_{-1}^{0} \alpha p(t)\,dt,\;\int_{0}^{1} \alpha p(t)\,dt\right).
Usando a propriedade \int_{a}^{b} \alpha f(t)\,dt=\alpha\int_{a}^{b} f(t)\,dt em cada coordenada:
\int_{-1}^{0} \alpha p(t)\,dt=\alpha\int_{-1}^{0} p(t)\,dt, \qquad \int_{0}^{1} \alpha p(t)\,dt=\alpha\int_{0}^{1} p(t)\,dt.
Assim
T(\alpha p)=\left(\alpha\int_{-1}^{0} p(t)\,dt,\;\alpha\int_{0}^{1} p(t)\,dt\right)=\alpha\left(\int_{-1}^{0} p(t)\,dt,\;\int_{0}^{1} p(t)\,dt\right)=\alpha\,T(p).

Passo 6

Resumo do que foi mostrado.
Demonstrou-se que para quaisquer p,q\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e qualquer \alpha\in\mathbb{R} vale T(p+q)=T(p)+T(q) e T(\alpha p)=\alpha T(p). Essas duas igualdades são exatamente as condições de linearidade de uma transformação entre espaços vetoriais. Portanto T satisfaz as condições requeridas.

Resposta

T é linear.

Exercícios relacionados