Prove que cada uma das transformações abaixo é linear.
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear candidata
definida por
onde
é o espaço dos polinômios reais de grau no máximo
.
O que o exercício pede: provar que é linear, ou seja, verificar que
satisfaz as propriedades exigidas para toda
e todo escalar
:
O que o exercício pede: provar que
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O domínio é
. - A imagem é um vetor em
com as duas componentes sendo integrais definidas de em intervalos e . - A operação usada na definição de
é a integral definida aplicada a polinômios.
Passo 2
Definição e estratégia (explicando didaticamente).
Uma transformação entre espaços vetoriais é linear se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar, isto é, se (i) e (ii) acima valem para todos os vetores e escalares. Para provar que
é linear eu vou mostrar essas duas propriedades diretamente usando propriedades básicas da integral definida. Não é necessário calcular integrais concretas; basta usar a linearidade da integral (propriedade fundamental que vale para funções integráveis, e no nosso caso vale a fortiori para polinômios).
Uma transformação
Passo 3
Propriedade usada: linearidade da integral.
Explicando por que podemos usar: para funções integráveis e
e escalar
vale
Explicando por que podemos usar: para funções integráveis
e
Motivo intuitivo e simples (para polinômios): polinômios têm antiderivadas obtidas termo a termo (por exemplo, se
então uma antiderivada é
), e a operação de tomar antiderivada é linear com respeito à soma e multiplicação por escalar; aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo preserva essa linearidade nas integrais definidas. Então podemos usar as igualdades acima sem medo quando integrarmos polinômios.
Passo 4
Verificação da aditividade
.
Sejam . Então, por definição de
,
Sejam
Aplicando a linearidade da integral coordenada a coordenada obtemos
e
Portanto
Agrupando coordenadas isso é exatamente
Passo 5
Verificação da homogeneidade
.
Seja e
. Pela definição,
Seja
Usando a propriedade
em cada coordenada:
Assim
Passo 6
Resumo do que foi mostrado.
Demonstrou-se que para quaisquer e qualquer
vale
e
. Essas duas igualdades são exatamente as condições de linearidade de uma transformação entre espaços vetoriais. Portanto
satisfaz as condições requeridas.
Demonstrou-se que para quaisquer