Prove que cada uma das transformações abaixo é linear.
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear proposta
definida por regra
O que se pede: provar que essa transformação é linear.
Informações fornecidas:
- O domínio é
, o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - O contradomínio é
, o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - A regra de associação a um polinômio
e a um ponto é .
Pergunta explícita: mostrar que para quaisquer
e qualquer escalar
valem
e que a imagem realmente pertence a
.
Passo 2
Lembrando a definição de transformação linear (aula rápida): uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
do domínio e qualquer escalar
,
e
Aqui os “vetores” são polinômios; isto é,
serão polinômios em
e
é um número real. Vou provar as duas propriedades por cálculo direto e também verificar que a imagem fica em
.
Passo 3
Verificação de que a imagem está em
.
Tomemos um polinômio genérico
. Escrevemos
onde
. Isso significa que
.
Considere
. É um polinômio em
obtido substituindo
por
nas potências; portanto
. Logo
.
Agora multiplica-se por
:
. Multiplicar um polinômio de grau
por
aumenta o grau em no máximo
, então
. Assim
. Isso mostra que a regra realmente mapeia para o espaço declarado.
Passo 4
Propriedade da aditividade:
.
Sejam
. Por definição de
,
Mas
porque soma de funções é feita ponto a ponto. Portanto
Distribuindo o
,
Reconhecendo as definições, isto é
Como isso vale para todo
, obtemos a igualdade de polinômios
Passo 5
Propriedade da homogeneidade:
.
Seja
e
. Pela definição de
,
Mas
porque multiplicar por escalar é feito ponto a ponto. Logo
Pela propriedade comutativa da multiplicação em
,
Assim, como polinômios,
Passo 6
Comentário alternativo (interpretação por composição de operadores).
É interessante ver
como composição de dois operadores simples e linearmente óbvios:
- Defina
por . A mudança de variável é linear, pois e . - Defina
por . Multiplicar por a função fixa é uma transformação linear: e .
Então
. Como composição de aplicações lineares é linear, isso fornece outra forma curta e conceitual de ver que
é linear.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (sem pular passos): tome
. Então
e
um polinômio de grau
. Se tomar
e somar
, aplicar
e comparar com
dá as mesmas expressões, ilustrando as propriedades já demonstradas.