Prove que cada uma das transformações abaixo é linear.
T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) dada por (T p)(x)=x \cdot p(x+1)).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear proposta T:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) definida por regra
(Tp)(x)=x\cdot p(x+1).
O que se pede: provar que essa transformação é linear.
Informações fornecidas:
  • O domínio é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3.
  • O contradomínio é \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 4.
  • A regra de associação a um polinômio p\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e a um ponto x\in\mathbb{R} é (Tp)(x)=x\,p(x+1).
Pergunta explícita: mostrar que para quaisquer p,q\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e qualquer escalar c\in\mathbb{R} valem
T(p+q)=T(p)+T(q)\quad\text{e}\quad T(cp)=c\,T(p),
e que a imagem realmente pertence a \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrando a definição de transformação linear (aula rápida): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar c,
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Aqui os “vetores” são polinômios; isto é, u,v,p,q serão polinômios em \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) e c é um número real. Vou provar as duas propriedades por cálculo direto e também verificar que a imagem fica em \mathcal{P}_4(\mathbb{R}).

Passo 3

Verificação de que a imagem está em \mathcal{P}_4(\mathbb{R}).
Tomemos um polinômio genérico p\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}). Escrevemos
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,
onde a_0,a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}. Isso significa que \deg p\le 3.
Considere p(x+1). É um polinômio em x obtido substituindo x por x+1 nas potências; portanto \deg p(x+1)=\deg p\le 3. Logo p(x+1)\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}).
Agora multiplica-se por x: (Tp)(x)=x\cdot p(x+1). Multiplicar um polinômio de grau \le 3 por x aumenta o grau em no máximo 1, então \deg(Tp)\le 4. Assim Tp\in\mathcal{P}_4(\mathbb{R}). Isso mostra que a regra realmente mapeia para o espaço declarado.

Passo 4

Propriedade da aditividade: T(p+q)=T(p)+T(q).
Sejam p,q\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}). Por definição de T,
(T(p+q))(x)=x\cdot (p+q)(x+1).
Mas (p+q)(x+1)=p(x+1)+q(x+1) porque soma de funções é feita ponto a ponto. Portanto
(T(p+q))(x)=x\bigl(p(x+1)+q(x+1)\bigr).
Distribuindo o x,
(T(p+q))(x)=x\,p(x+1)+x\,q(x+1).
Reconhecendo as definições, isto é
(T(p+q))(x)=(Tp)(x)+(Tq)(x).
Como isso vale para todo x, obtemos a igualdade de polinômios
T(p+q)=T(p)+T(q).

Passo 5

Propriedade da homogeneidade: T(cp)=c\,T(p).
Seja c\in\mathbb{R} e p\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}). Pela definição de T,
(T(cp))(x)=x\cdot (cp)(x+1).
Mas (cp)(x+1)=c\cdot p(x+1) porque multiplicar por escalar é feito ponto a ponto. Logo
(T(cp))(x)=x\cdot\bigl(c\,p(x+1)\bigr).
Pela propriedade comutativa da multiplicação em \mathbb{R},
(T(cp))(x)=c\bigl(x\,p(x+1)\bigr)=c\,(Tp)(x).
Assim, como polinômios,
T(cp)=c\,T(p).

Passo 6

Comentário alternativo (interpretação por composição de operadores).
É interessante ver T como composição de dois operadores simples e linearmente óbvios:
  • Defina S:\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) por (S p)(x)=p(x+1). A mudança de variável x\mapsto x+1 é linear, pois S(p+q)=S(p)+S(q) e S(cp)=cS(p).
  • Defina M:\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) por (M r)(x)=x\cdot r(x). Multiplicar por a função fixa x é uma transformação linear: M(r+s)=Mr+Ms e M(cr)=cMr.
Então T=M\circ S. Como composição de aplicações lineares é linear, isso fornece outra forma curta e conceitual de ver que T é linear.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (sem pular passos): tome p(x)=1+x. Então p(x+1)=1+(x+1)=2+x e
(Tp)(x)=x(2+x)=2x+x^2,
um polinômio de grau 2\le 4. Se tomar q(x)=x^2 e somar p+q, aplicar T e comparar com T(p)+T(q) dá as mesmas expressões, ilustrando as propriedades já demonstradas.

Resposta

T é linear.

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