Prove que o conjunto dado é simplesmente conexo. (Sugestão: Verifique que o conjunto dado é estrelado.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é simplesmente conexo.
O conteúdo que vamos usar é topologia em : basta provar que
é estrelado (logo contratível) e então concluir que seu grupo fundamental é trivial.
é simplesmente conexo.
O conteúdo que vamos usar é topologia em
Passo 2
Vamos verificar que
é estrelado com centro em
Isto significa checar que, para todo ponto
e todo
, o ponto
pertence a
.
— Se
então ou
ou
.
1. Se
, então
para todo
, de modo que
nunca cai no eixo
,
.
2. Se
e
, então
e
, i.e.,
está no semieixo
, que permanece em
.
Em ambos os casos
, logo todo segmento
fica em
.
Passo 3
Como
é estrelado por
, ele é contratível via homotopia linear. Dado um laço fechado
com
, defina
Para cada
, o ponto
está no segmento de
até
, e por estrelamento esse segmento está inteiramente em
. Além disso
então
é uma homotopia que contrai
ao laço constante em
. Isso mostra que
é trivial.