Prove que o conjunto dado é simplesmente conexo. (Sugestão: Verifique que o conjunto dado é estrelado.)
Omega=R^2-(x, 0) in R^2 mid x>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
Omega=R^2setminus(x,0)mid x>0
é simplesmente conexo.
O conteúdo que vamos usar é topologia em R^n: basta provar que Omega é estrelado (logo contratível) e então concluir que seu grupo fundamental é trivial.

Passo 2

Vamos verificar que Omega é estrelado com centro em
p = (0,0)
Isto significa checar que, para todo ponto q = (x,y) in Omega e todo t in [0,1], o ponto
(1 - t), p + t, q = (t x, t y)
pertence a Omega.
— Se q in Omega então ou y neq 0 ou x <= 0.
1. Se y neq 0, então t y neq 0 para todo t > 0, de modo que (t x, t y) nunca cai no eixo y = 0, x > 0.
2. Se y = 0 e x <= 0, então t y = 0 e t x <= 0, i.e., (t x, 0) está no semieixo x <= 0, que permanece em Omega.
Em ambos os casos (t x, t y) notin (u,0) mid u > 0, logo todo segmento [p,q] fica em Omega.

Passo 3

Como Omega é estrelado por p, ele é contratível via homotopia linear. Dado um laço fechado
gammacolon [0,1]toOmega com gamma(0)=gamma(1), defina
H(s,t) ;=;(1-s),gamma(t), s,tin[0,1]
Para cada (s,t), o ponto H(s,t) está no segmento de gamma(t) até p, e por estrelamento esse segmento está inteiramente em Omega. Além disso
H(0,t)=gamma(t), H(1,t)=p,
então H é uma homotopia que contrai gamma ao laço constante em p. Isso mostra que pi1(Omega) é trivial.

Resposta

Omega é simplesmente conexo.

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