Prove que o conjunto \psi=\left\{w_{1=}(1,0,-1), w_{2=}(1,2,1), w_{3=}(0,-3,2)\right\} é uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \psi=\left\{w_{1}=(1,0,-1),\; w_{2}=(1,2,1),\; w_{3}=(0,-3,2)\right\} e pede para provar que \psi é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os vetores são \;w_{1}=(1,0,-1),\; w_{2}=(1,2,1),\; w_{3}=(0,-3,2).
  • Objetivo: mostrar que esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3} (ou seja, que são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}, ou, equivalentemente, que são três vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3).

Passo 2

Explicando de forma didática o que vamos usar (sem assumir que já saiba):
  • Definição prática de base em \mathbb{R}^{3}: um conjunto de três vetores é uma base se for linearmente independente (então automaticamente gera todo \mathbb{R}^{3}, pois a dimensão é 3).
  • Critério prático e simples: formar a matriz cujas colunas são os vetores dados e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes. Isso acontece porque determinante não nulo significa que a matriz é invertível e, portanto, a combinação linear c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}+c_{3}w_{3}=0 só admite a solução trivial c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.
Breve lembrete sobre determinante (em linguagem simples): o determinante de uma matriz 3\times3 é um número que, entre outras interpretações, mede se as colunas são “colineares” ou não no sentido de volume; se for zero, as colunas ficam no mesmo plano/linha e são dependentes; se for não zero, as colunas ocupam o espaço todo e são independentes.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são w_{1},w_{2},w_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -3\\[4pt] -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Aqui cada coluna é um dos vetores: primeira coluna =(1,0,-1)^{T}, segunda =(1,2,1)^{T}, terceira =(0,-3,2)^{T}.]

Passo 4

Calculo o determinante de A. Vou expandir pela primeira linha (regra de Sarrus ou expansão por cofatores dá o mesmo resultado). Usando a expansão:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-3)\cdot1=4-(-3)=7,
\det\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}=0\cdot2-(-3)\cdot(-1)=0-3=-3.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 7 - 1\cdot(-3) + 0\cdot(\cdots)=7 + 3 = 10.]

Passo 5

Interpretação do resultado: \det(A)=10\neq 0. Como a matriz A cuja colunas são w_{1},w_{2},w_{3} tem determinante não nulo, ela é invertível. Isso implica que as colunas são linearmente independentes (a única solução para c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}+c_{3}w_{3}=0 é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0).
Em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto de exatamente três vetores linearmente independentes forma uma base (porque a dimensão de \mathbb{R}^{3} é 3, logo qualquer conjunto independente com 3 vetores tem o tamanho máximo possível e, portanto, gera todo o espaço). Assim, a independência já garante que \psi gera \mathbb{R}^{3}.

Resposta

\psi é uma base de \mathbb{R}^{3}, pois a matriz A formada pelas colunas w_{1},w_{2},w_{3} tem \det(A)=10\neq0.

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