Determine três vetores v_{1}, v_{2} e v_{3} em \mathbb{R}^{3}, sabendo-se que v_{3} é o vetor que representa a solução do sistema linear S : \left\{\begin{array}{c}x+y+z=2 \\\\ 2 x+3 y+4 z=3 \\\ x-2 y-z=1\end{array}\right., e, ambos os vetores são linearmente dependentes (L.D’s) e tais que dois quaisquer deles sejam linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar três vetores em \mathbb{R}^{3}, chamados v_{1}, v_{2} e v_{3}, com as condições seguintes:
v_{3} é o vetor que representa a solução do sistema linear S:
Os três vetores são linearmente dependentes (L.D.).
Dois quaisquer desses vetores (qualquer par) são linearmente independentes (L.I.).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As equações do sistema S (peguei-as do enunciado).
A definição/condição de v_{3} (é o vetor solução (x,y,z) do sistema).
As exigências sobre dependência linear do conjunto de três vetores e independência de cada par.]
Passo 2
Vamos encontrar a solução do sistema S (isto vai nos dar v_{3}). Vou usar o método de substituição, passo a passo, sem pular etapas.
Da primeira equação temos isolando x:
x = 2 - y - z.
Substituindo esse x na terceira equação x-2y-z=1:
(2 - y - z) - 2y - z = 1.
Agora simplifico o lado esquerdo:
2 - y - z - 2y - z = 2 - 3y - 2z.
Igualando a 1:
2 - 3y - 2z = 1.
Passo os termos constantes para o outro lado:
-3y - 2z = 1 - 2 = -1.
Multiplicando por -1:
3y + 2z = 1.
Dessa equação posso isolar y (ainda em função de z):
y = \dfrac{1 - 2z}{3}.
Agora substituo x = 2 - y - z e esse y na segunda equação 2x+3y+4z=3. Em vez de substituir a expressão fracionária diretamente, uso a forma x=2-y-z para tornar as contas simples:
2(2 - y - z) + 3y + 4z = 3.
Distribuindo:
4 - 2y - 2z + 3y + 4z = 3.
Agrupando termos semelhantes:
4 + y + 2z = 3.
Passo o 4 para o outro lado:
y + 2z = 3 - 4 = -1.
Então
y = -1 - 2z.
Temos duas expressões para y em função de z:
y = \dfrac{1 - 2z}{3} \qquad\text{e}\qquad y = -1 - 2z.
Igualando-as:
\dfrac{1 - 2z}{3} = -1 - 2z.
Multiplico ambos os lados por 3:
1 - 2z = -3 - 6z.
Reagrupando:
1 + 3 = -6z + 2z \quad\Rightarrow\quad 4 = -4z.
Logo
z = -1.
Substituo z=-1 em y = -1 - 2z:
y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1.
E em x = 2 - y - z:
x = 2 - 1 - (-1) = 2 - 1 + 1 = 2.
Portanto a solução do sistema (o vetor v_{3}) é
v_{3} = (x,y,z) = (2,\,1,\,-1).
Passo 3
Vou relembrar os conceitos de dependência e independência linear (com linguagem simples e exemplos curtos), porque precisamos usá-los para justificar a escolha dos vetores.
Definição: um conjunto de vetores \{u_{1},u_{2},\dots,u_{k}\} é linearmente dependente (L.D.) se existem escalares, nem todos nulos, \alpha_{1},\dots,\alpha_{k} tais que
Se a única solução para essa combinação linear igual a zero é \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0, o conjunto é linearmente independente (L.I.).
Observação prática em \mathbb{R}^{3}: três vetores são L.D. quando um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Dois vetores são L.I. quando não são múltiplos um do outro (isto é, nenhum é escalar do outro).
Estratégia simples para obter o que o enunciado pede:
Escolher v_{1} e v_{2} L.I. (por exemplo, vetores que claramente não são múltiplos).
Definir v_{3} como uma combinação linear não trivial: por exemplo v_{3}=v_{1}+v_{2}. Assim os três serão L.D. (pois v_{1}+v_{2}-v_{3}=0), e cada par será L.I. desde que v_{1} e v_{2} sejam L.I. (vai ficar claro na verificação).
No nosso caso, porém, v_{3} já está fixado como (2,1,-1). Então precisamos escolher v_{1} e v_{2} L.I. tal que
v_{1}+v_{2}=v_{3}=(2,\,1,\,-1).
Isso é fácil: basta escolher v_{1} qualquer não nulo e v_{2}=v_{3}-v_{1}, tomando cuidado para que v_{2} não seja múltiplo de v_{1}.
Passo 4
Escolho uma escolha explícita simples e conveniente:
Verifico que v_{1} e v_{2} não são múltiplos um do outro (logo são L.I.):
Se existisse \lambda tal que v_{2}=\lambda v_{1}, então (1,1,-1)=\lambda(1,0,0)=(\lambda,0,0). Isso forçaria 1=0 na segunda coordenada, absurdo. Portanto não existe tal \lambda. Então v_{1} e v_{2} são L.I.
Também confirmo que v_{1}+v_{2}=v_{3} por construção:
(1,0,0)+(1,1,-1)=(2,1,-1)=v_{3}.
Passo 5
Agora verifico as propriedades pedidas explicitamente.
Os três vetores são linearmente dependentes.
Mostro uma combinação linear não trivial que dá zero:
Os coeficientes (1,1,-1) não são todos nulos, logo há dependência linear. Portanto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é L.D.
Qualquer par dos vetores é linearmente independente.
Já verificamos que v_{1} e v_{2} são L.I. (não são múltiplos).
Verifico v_{1} e v_{3}: se existisse \mu com v_{3}=\mu v_{1}, teríamos (2,1,-1)=\mu(1,0,0)=(\mu,0,0), o que falha na segunda coordenada. Logo não existe tal \mu; portanto v_{1} e v_{3} são L.I.
Verifico v_{2} e v_{3}: se existisse \nu com v_{3}=\nu v_{2}, teríamos (2,1,-1)=\nu(1,1,-1)=(\nu,\nu,-\nu). Igualando coordenadas dá \nu=2 pela primeira coordenada e \nu=1 pela segunda coordenada, contradição. Logo não existe \nu; assim v_{2} e v_{3} são L.I.
Portanto qualquer par é L.I., e os três juntos são L.D., como requerido.
Passo 6
Resumo final e observações rápidas para a prova (dica prática): sempre que precisar construir três vetores em \mathbb{R}^{3} com as propriedades “três L.D. e cada par L.I.”, uma receita é:
escolha dois vetores v_{1},v_{2} L.I.;
defina v_{3}=a v_{1}+b v_{2} com a,b\neq 0 (por exemplo a=b=1);
isso garante v_{1},v_{2} são L.I. e \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é L.D.; além disso, se a e b são não nulos, quaisquer dois serão L.I.
No problema dado, v_{3} estava fixado pela solução do sistema e escolhemos v_{1} simples para aplicar essa receita.