Prove que
\cos 3 \theta=\cos ^{3} \theta-3 \cos \theta \sin ^{2} \theta \text { e } \sin 3 \theta=-\sin ^{3} \theta+3 \cos ^{2} \theta \sin \theta

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de triple‐ângulo para cosseno e seno, que caem no conteúdo de identidades trigonométricas. Vamos usar as fórmulas de soma de ângulos
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
e as fórmulas de ângulo duplo
\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta, \quad \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de soma para \cos(3\theta)=\cos(2\theta+\theta):
\cos(3\theta) =\cos(2\theta)\cos\theta-\sin(2\theta)\sin\theta.

Passo 3

Substituímos \cos2\theta e \sin2\theta:
\cos(3\theta) =(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\cos\theta -(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta.
Agora desenvolvemos e agrupamos:
\cos(3\theta) =\cos^3\theta-\cos\theta\sin^2\theta -2\sin^2\theta\cos\theta =\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de soma para \sin(3\theta)=\sin(2\theta+\theta):
\sin(3\theta) =\sin(2\theta)\cos\theta+\cos(2\theta)\sin\theta.

Passo 5

Substituímos os duplos ângulos:
\sin(3\theta) =(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta +(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\sin\theta.
Desenvolvendo e agrupando:
\sin(3\theta) =2\sin\theta\cos^2\theta +\cos^2\theta\sin\theta -\sin^3\theta =3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta.

Resposta

\displaystyle \cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta \displaystyle \sin3\theta=-\sin^3\theta+3\cos^2\theta\sin\theta

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