Prove que, dado o triângulo A B C, tem-se
\cos \frac{\widehat{A}}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{b c}}

Passo 1

Temos um triângulo ABC com lados de comprimentos a=BC, b=CA e c=AB. Denotamos o semiperímetro por
p=\frac{a+b+c}{2}.
Queremos mostrar que
\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}.
Para isso vamos usar a fórmula do cosseno de meia-ângulo e a Lei dos Cossenos.

Passo 2

A identidade do cosseno de meia-ângulo diz que
\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}.

Passo 3

Pela Lei dos Cossenos, temos
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.
Logo,
1+\cos A=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} =\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc}.

Passo 4

Observe que
b+c+a=2p \quad\text{e}\quad b+c-a=2(p-a).
Substituindo em \tfrac{1+\cos A}{2}
\frac{1+\cos A}{2} =\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{4bc} =\frac{2(p-a)\,2p}{4bc} =\frac{p(p-a)}{bc}.
Portanto, da fórmula do passo 2 segue imediatamente

Resposta

\boxed{\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}.}

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