Prove que, dado o triângulo A B C, tem-se:
1-\cos \widehat{A}=\frac{2(p-b)(p-c)}{b c}.

Passo 1

Temos um triângulo ABC com lados a=BC, b=CA, c=AB e semiperímetro
p=\frac{a+b+c}{2}.
Queremos provar que
1-\cos\widehat{A}=\frac{2(p-b)(p-c)}{bc}.
Vamos usar a definição de semiperímetro e a Lei dos Cossenos.

Passo 2

Pelo semiperímetro definimos
p-b=\frac{a - b + c}{2}, \quad p-c=\frac{a + b - c}{2}.
Multiplicando, obtemos
(p-b)(p-c) =\frac{(a - b + c)(a + b - c)}{4}.

Passo 3

Pela Lei dos Cossenos no ângulo \widehat{A},
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A},
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\cos\widehat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.

Passo 4

Calculamos
1-\cos\widehat{A} =1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} =\frac{2bc - (b^2 + c^2 - a^2)}{2bc} =\frac{a^2 - b^2 - c^2 + 2bc}{2bc}.

Passo 5

Repare que
b^2 + c^2 - 2bc = (b-c)^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - b^2 - c^2 + 2bc = a^2 - (b-c)^2.
E fatorando,
a^2 - (b-c)^2 = (a - (b-c))(a + (b-c)) = (a - b + c)(a + b - c).

Passo 6

Como vimos
(p-b)(p-c)=\frac{(a - b + c)(a + b - c)}{4},
segue que o numerador de 1-\cos\widehat{A} é 4(p-b)(p-c). Portanto
1-\cos\widehat{A} =\frac{4(p-b)(p-c)}{2bc} =\frac{2(p-b)(p-c)}{bc}.

Resposta

1-\cos\widehat{A}=\frac{2(p-b)(p-c)}{bc}.

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