Prove que, dado o triângulo A B C, tem-se
\frac{a+b}{c}=\frac{\cos \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}}{\operatorname{sen} \frac{\widehat{C}}{2}}.

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo ABC com lados opostos a=BC, b=CA e c=AB, e ângulos \widehat A, \widehat B, \widehat C. Queremos mostrar que
\frac{a+b}{c} \;=\;\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{\widehat A-\widehat B}{2}\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\bigr)}.
Para isso vamos usar a Lei dos Senos e identidades de soma de senos e fórmula de ângulo metade.

Passo 2

Pela Lei dos Senos temos
\frac{a}{\sin\widehat A} \;=\;\frac{b}{\sin\widehat B}\;=\;\frac{c}{\sin\widehat C}.
Daqui extraímos
a = \frac{\sin\widehat A}{\sin\widehat C}\,c, \quad b = \frac{\sin\widehat B}{\sin\widehat C}\,c.

Passo 3

Somando a e b e dividindo por c vem
\frac{a+b}{c} =\frac{\sin\widehat A+\sin\widehat B}{\sin\widehat C}.

Passo 4

Usamos a identidade de soma de senos
\sin\widehat A + \sin\widehat B =2\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\widehat A+\widehat B}{2}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{\widehat A-\widehat B}{2}\Bigr).
Logo o numerador fica
\sin\widehat A+\sin\widehat B =2\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\widehat A+\widehat B}{2}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{\widehat A-\widehat B}{2}\Bigr).

Passo 5

Num triângulo \widehat A+\widehat B+\widehat C=\pi, então
\tfrac{\widehat A+\widehat B}{2} =\tfrac{\pi-\widehat C}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sin\!\Bigl(\tfrac{\widehat A+\widehat B}{2}\Bigr) =\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi-\widehat C}{2}\Bigr) =\cos\!\Bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\Bigr).
Assim
\sin\widehat A+\sin\widehat B =2\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{\widehat A-\widehat B}{2}\Bigr).

Passo 6

Também usamos a fórmula do seno de ângulo inteiro em função da metade:
\sin\widehat C = 2\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\Bigr).
Substituindo no denominador de \frac{\sin\widehat A+\sin\widehat B}{\sin\widehat C} obtemos
\frac{\sin\widehat A+\sin\widehat B}{\sin\widehat C} =\frac{2\,\cos\!\bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{\widehat A-\widehat B}{2}\bigr)} {2\,\sin\!\bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\bigr)}.

Passo 7

Cancelando 2 e \cos\!\bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\bigr) no numerador e denominador, sobra exatamente
\frac{a+b}{c} =\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{\widehat A-\widehat B}{2}\bigr)} {\sin\!\bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\bigr)},
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

\frac{a+b}{c} =\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{\widehat A-\widehat B}{2}\bigr)} {\sin\!\bigl(\tfrac{\widehat C}{2}\bigr)}.

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