Dado um triângulo A B C, sejam h_{A}, h_{B} e h_{C} as alturas do triângulo, R o raio do círculo circunscrito ao triângulo e r o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
h_{A}=2 R \operatorname{sen} \widehat{B} \operatorname{sen} \widehat{C}

Passo 1

O enunciado considera um triângulo ABC com altura h_A relativa ao lado BC, raio do circuncírculo R e raio do círculo inscrito r. Queremos mostrar a relação
h_{A}=2R\sin\widehat{B}\,\sin\widehat{C}.
Para isso vamos usar a definição de altura em triângulo e o Teorema dos Senos.

Passo 2

Na definição de altura, a reta traçada de A até BC forma com o lado AB=c um triângulo retângulo em B. Nesse triângulo retângulo, a altura h_A é o cateto oposto ao ângulo \widehat{B}. Logo, por definição de seno, temos
h_A = c \,\sin\widehat{B}.

Passo 3

Pelo Teorema dos Senos, em qualquer triângulo vale
\frac{a}{\sin\widehat{A}}=\frac{b}{\sin\widehat{B}}=\frac{c}{\sin\widehat{C}}=2R.
Da expressão para c obtemos
c = 2R \,\sin\widehat{C}.

Passo 4

Substituindo c = 2R\sin\widehat{C} na relação h_A = c\sin\widehat{B}, vem
h_A = \bigl(2R\sin\widehat{C}\bigr)\sin\widehat{B} = 2R\,\sin\widehat{B}\,\sin\widehat{C},
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

h_{A}=2R\sin\widehat{B}\,\sin\widehat{C}.

Exercícios relacionados