Prove que, dado o triângulo A B C, tem-se
\frac{b-c}{a}=\frac{\operatorname{sen} \frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}}{\cos \frac{\widehat{A}}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em qualquer triângulo ABC com lados opostos a A,B,C medindo a,b,c respectivamente, que
\frac{b-c}{a} = \frac{\sin\bigl(\tfrac{B-C}{2}\bigr)} {\cos\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)}.
Vamos usar a Lei dos Senos e fórmulas de soma e diferença de senos.

Passo 2

Pela Lei dos Senos temos
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =2R,
onde R é o raio do círculo circunscrito. Logo
b=2R\sin B, \quad c=2R\sin C, \quad a=2R\sin A.

Passo 3

Calculemos b-c usando a diferença de senos:
b-c =2R\bigl(\sin B-\sin C\bigr) =2R\!\Bigl(2\cos\!\tfrac{B+C}{2}\,\sin\!\tfrac{B-C}{2}\Bigr).
Como em qualquer triângulo A+B+C=180^\circ, temos B+C=180^\circ-A e
\cos\!\tfrac{B+C}{2} =\cos\!\Bigl(90^\circ-\tfrac{A}{2}\Bigr) =\sin\!\tfrac{A}{2}.
Logo
b-c =2R\cdot 2\,\sin\!\tfrac{A}{2}\,\sin\!\tfrac{B-C}{2} =4R\,\sin\!\tfrac{A}{2}\,\sin\!\tfrac{B-C}{2}.

Passo 4

Expressamos a em função de R e do ângulo A:
a=2R\sin A =2R\bigl(2\sin\!\tfrac{A}{2}\cos\!\tfrac{A}{2}\bigr) =4R\,\sin\!\tfrac{A}{2}\,\cos\!\tfrac{A}{2}.

Passo 5

Agora basta dividir b-c por a:
\frac{b-c}{a} = \frac{4R\,\sin\!\tfrac{A}{2}\,\sin\!\tfrac{B-C}{2}} {4R\,\sin\!\tfrac{A}{2}\,\cos\!\tfrac{A}{2}} = \frac{\sin\!\tfrac{B-C}{2}}{\cos\!\tfrac{A}{2}}.

Resposta

\frac{b-c}{a} = \frac{\sin\bigl(\tfrac{B-C}{2}\bigr)} {\cos\bigl(\tfrac{A}{2}\bigr)}.

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