Prove que, dado o triângulo
, tem-se:
, onde
é o raio do círculo circunscrito ao triângulo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a área
de um triângulo
pode ser escrita em função dos seus lados
,
,
e do raio
do seu círculo circunscrito, conforme
Para isso vamos usar dois fatos clássicos: o Teorema dos Senos e a fórmula da área em termos de dois lados e do seno do ângulo entre eles.
Passo 2
O Teorema dos Senos diz que, em qualquer triângulo,
Dessa igualdade extraímos em particular
Passo 3
Outra fórmula conhecida para a área do triângulo é
pois basta tomar os lados
e
como “bases” e a altura relativa ao ângulo
.
Passo 4
Substituindo
em
obtemos