Prove que, dado o triângulo A B C, tem-se:
\mathcal{A}=\frac{a b c}{4 R}, onde R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a área \mathcal{A} de um triângulo ABC pode ser escrita em função dos seus lados a=BC, b=CA, c=AB e do raio R do seu círculo circunscrito, conforme
\mathcal{A}=\frac{a\,b\,c}{4R}.
Para isso vamos usar dois fatos clássicos: o Teorema dos Senos e a fórmula da área em termos de dois lados e do seno do ângulo entre eles.

Passo 2

O Teorema dos Senos diz que, em qualquer triângulo,
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.
Dessa igualdade extraímos em particular
\sin A=\frac{a}{2R}.

Passo 3

Outra fórmula conhecida para a área do triângulo é
\mathcal{A}=\frac{1}{2}\,b\,c\,\sin A,
pois basta tomar os lados b e c como “bases” e a altura relativa ao ângulo A.

Passo 4

Substituindo \sin A=\tfrac{a}{2R} em \mathcal{A}=\tfrac12\,b\,c\,\sin A obtemos
\mathcal{A} =\frac12\,b\,c\,\biggl(\frac{a}{2R}\biggr) =\frac{a\,b\,c}{4R}.

Resposta

\mathcal{A}=\frac{a\,b\,c}{4R}.

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