Prove que, dado o triângulo A B C, tem-se
\operatorname{sen} \frac{\widehat{A}}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{b c}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo ABC com lados a=BC, b=CA, c=AB e semiperímetro
p=\frac{a+b+c}{2},
vale
\sin\frac{\widehat A}{2} =\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do meio-ângulo em trigonometria e a lei dos cossenos.

Passo 2

Primeiro usamos a identidade de meio-ângulo, válida para 0< A<\pi, que diz
\sin\frac{A}{2} =\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a lei dos cossenos ao ângulo A:
\cos A =\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2\,b\,c}.

Passo 4

Substituindo \cos A na fórmula de \sin(A/2) obtemos
\sin\frac{A}{2} =\sqrt{\frac{1 - \displaystyle\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{2}} =\sqrt{\frac{2\,b\,c - (b^2 + c^2 - a^2)}{4\,b\,c}} =\sqrt{\frac{a^2 - (b - c)^2}{4\,b\,c}}.

Passo 5

Perceba que
a^2 - (b-c)^2 =(a - b + c)\,(a + b - c).
Mas
p - b = \frac{a + b + c}{2} - b = \frac{a + c - b}{2}, \qquad p - c = \frac{a + b - c}{2}.
Logo
(a - b + c)(a + b - c) = 2(p-b)\cdot 2(p-c) =4\,(p-b)(p-c).

Passo 6

Substituindo esse resultado em \sin(A/2) temos
\sin\frac{A}{2} =\sqrt{\frac{4\,(p-b)(p-c)}{4\,b\,c}} =\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{b\,c}},
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\sin\frac{\widehat A}{2} =\sqrt{\frac{(p - b)(p - c)}{b\,c}}.

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