Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
(m) f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1} em p=-2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1} e pede para provar, pela definição (isto é, usando \varepsilon \delta), que f é contínua no ponto p=-2.
Informações relevantes que temos:
  • A função é f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1}.
  • O ponto a investigar é p=-2.
  • Valor da função no ponto: f(-2)=\sqrt[3]{(-2)^{2}+1}=\sqrt[3]{5}.
O que precisamos mostrar (formalmente): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-(-2)|<\delta, então |f(x)-f(-2)|<\varepsilon.

Passo 2

Vou escrever explicitamente a condição que devemos garantir. Seja um \varepsilon>0 qualquer. Queremos escolher \delta>0 (em função de \varepsilon) de modo que
|x+2|<\delta \quad\Rightarrow\quad \bigl|\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{5}\bigr|<\varepsilon.
Aqui uso x+2 porque x-(-2)=x+2. A estratégia será manipular \bigl|\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{5}\bigr| e estimá‑la por uma constante vezes |x+2|, o que permitirá escolher \delta proporcional a \varepsilon.

Passo 3

Fazer uma identidade algébrica útil: para u,v\in\mathbb{R} vale
u^{3}-v^{3}=(u-v)(u^{2}+uv+v^{2}).
Aplicando com u=\sqrt[3]{x^{2}+1} e v=\sqrt[3]{5} (assim u^{3}=x^{2}+1 e v^{3}=5), obtemos
\bigl|\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{5}\bigr| =\frac{\bigl|x^{2}+1-5\bigr|}{\bigl|\bigl(\sqrt[3]{x^{2}+1}\bigr)^{2}+\sqrt[3]{x^{2}+1}\,\sqrt[3]{5}+\bigl(\sqrt[3]{5}\bigr)^{2}\bigr|}.
No numerador simplifica:
\bigl|x^{2}+1-5\bigr|=|x^{2}-4|=|x-2|\,|x+2|.

Passo 4

Agora vou estimar o denominador por baixo (ou seja, encontrar um número positivo menor ou igual ao denominador) para obter uma cota simples acima para a diferença.
Observação: para todo x temos x^{2}+1>0, logo u=\sqrt[3]{x^{2}+1}\ge 0. Também v=\sqrt[3]{5}>0. Portanto cada termo em
u^{2}+uv+v^{2}
é não negativo, e em particular
u^{2}+uv+v^{2}\ge v^{2}=\bigl(\sqrt[3]{5}\bigr)^{2}=5^{2/3}.
Assim o denominador é sempre maior ou igual a 5^{2/3}.

Passo 5

Use a estimativa do numerador e do denominador para obter uma desigualdade prática. Temos
\bigl|\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{5}\bigr| \le \frac{|x-2|\,|x+2|}{5^{2/3}}.
Para relacionar |x-2| com |x+2| (já que a condição de \delta envolve |x+2|), note que
|x-2|=| (x+2)-4|\le |x+2|+4
(pela desigualdade triangular). Se garantirmos que |x+2|<1 então |x-2|<1+4=5. Logo, sempre que |x+2|<1 obtemos
|x-2|\,|x+2| \le 5\,|x+2|.
Substituindo na desigualdade anterior:
\bigl|\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{5}\bigr| \le \frac{5\,|x+2|}{5^{2/3}}.

Passo 6

Simplificar a constante:
\frac{5}{5^{2/3}}=5^{1-2/3}=5^{1/3}=\sqrt[3]{5}.
Portanto, sempre que |x+2|<1 vale
\bigl|\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{5}\bigr|\le \sqrt[3]{5}\,|x+2|.

Passo 7

Agora escolho \delta em função de \varepsilon. Tome
\delta=\min\Bigl\{1,\;\frac{\varepsilon}{\sqrt[3]{5}}\Bigr\}.
Suponha |x+2|<\delta. Então |x+2|<1 e a desigualdade do passo anterior vale; além disso |x+2|<\varepsilon/\sqrt[3]{5}. Logo
\bigl|\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{5}\bigr|\le \sqrt[3]{5}\,|x+2|<\sqrt[3]{5}\cdot\frac{\varepsilon}{\sqrt[3]{5}}=\varepsilon.
Isto mostra exatamente a condição \forall\varepsilon>0\\ \exists\delta>0 tal que |x+2|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(-2)|<\varepsilon.

Passo 8

Concluímos que, pela definição \varepsilon \delta, a função f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1} é contínua no ponto p=-2. Pequeno reforço de intuição: a desigualdade obtida mostra que, perto de -2, a função varia no máximo de forma proporcional a |x+2| (com constante \sqrt[3]{5}), então pequenas variações em x causam pequenas variações em f(x) — exatamente a ideia de continuidade.

Resposta

A função f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1} é contínua em p=-2.

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