Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
(m) f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1} em p=-2
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1} e pede para provar, pela definição (isto é, usando \varepsilon–\delta), que f é contínua no ponto p=-2.
Informações relevantes que temos:
A função é f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1}.
O ponto a investigar é p=-2.
Valor da função no ponto: f(-2)=\sqrt[3]{(-2)^{2}+1}=\sqrt[3]{5}.
O que precisamos mostrar (formalmente): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-(-2)|<\delta, então |f(x)-f(-2)|<\varepsilon.
Passo 2
Vou escrever explicitamente a condição que devemos garantir. Seja um \varepsilon>0 qualquer. Queremos escolher \delta>0 (em função de \varepsilon) de modo que
Aqui uso x+2 porque x-(-2)=x+2. A estratégia será manipular \bigl|\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{5}\bigr| e estimá‑la por uma constante vezes |x+2|, o que permitirá escolher \delta proporcional a \varepsilon.
Passo 3
Fazer uma identidade algébrica útil: para u,v\in\mathbb{R} vale
u^{3}-v^{3}=(u-v)(u^{2}+uv+v^{2}).
Aplicando com u=\sqrt[3]{x^{2}+1} e v=\sqrt[3]{5} (assim u^{3}=x^{2}+1 e v^{3}=5), obtemos
Agora vou estimar o denominador por baixo (ou seja, encontrar um número positivo menor ou igual ao denominador) para obter uma cota simples acima para a diferença.
Observação: para todo x temos x^{2}+1>0, logo u=\sqrt[3]{x^{2}+1}\ge 0. Também v=\sqrt[3]{5}>0. Portanto cada termo em
Isto mostra exatamente a condição \forall\varepsilon>0\\ \exists\delta>0 tal que |x+2|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(-2)|<\varepsilon.
Passo 8
Concluímos que, pela definição \varepsilon–\delta, a função f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1} é contínua no ponto p=-2. Pequeno reforço de intuição: a desigualdade obtida mostra que, perto de -2, a função varia no máximo de forma proporcional a |x+2| (com constante \sqrt[3]{5}), então pequenas variações em x causam pequenas variações em f(x) — exatamente a ideia de continuidade.
Resposta
A função f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1} é contínua em p=-2.