Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
(o)
em
(o)
Passo 1
O enunciado pede: provar, pela definição (epsilón–delta), que a função
é contínua no ponto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde se quer provar continuidade é
.
O que devemos mostrar (definição): para todo
existe
tal que, sempre que
, então
.
Passo 2
Primeiro calculo
explicitamente para usar na diferença:
Para simplificar a escrita, defino
Então
Passo 3
Vou transformar a expressão do numerador em coisas proporcionais a
e a
, porque
e
estão ligados por
e
. Escrevo
Como
, temos
Portanto
Passo 4
Usarei a identidade entre diferença de cubos para relacionar
e
:
logo, para
,
Assim posso escrever uma desigualdade para
:
Agora escolho um intervalo pequeno em torno de
para controlar todos os termos. Tomo por exemplo
. Se
então
. Para tais
vale:
-
satisfaz . - Como
então e são positivos e, em particular,
Portanto, usando
, obtemos a estimativa simples
Passo 5
Agora volto à expressão de
e uso as desigualdades anteriores. Da fórmula do Passo 3,
Para
com
temos
, e também
. Substituindo:
Defino a constante positiva
onde
é fixo. Assim obtive a desigualdade útil
sempre que
.
Intuição rápida: perto de
a função comporta-se como uma constante vezes
, portanto podemos transformar um requisito em
numa condição sobre
.
Passo 6
Agora faço a escolha
. Verifico que com essa escolha, sempre que
temos:
- como
, vale a estimativa do passo anterior e, portanto,
Isso mostra exatamente a condição da definição: dado qualquer
escolhemos
e garantimos
sempre que
.
Passo 7
Conclusão lógica: como para todo
existe
(construído acima) que faz
sempre que
, então, pela definição epsilón–delta, a função
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.