Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
(o) f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2 x+1} em p=4

Passo 1

O enunciado pede: provar, pela definição (epsilón–delta), que a função
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2x+1}
é contínua no ponto p=4.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{2x+1}.
  • O ponto onde se quer provar continuidade é p=4.
O que devemos mostrar (definição): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-4|<\delta, então |f(x)-f(4)|<\varepsilon.

Passo 2

Primeiro calculo f(4) explicitamente para usar na diferença:
f(4)=\frac{\sqrt[3]{4}}{2\cdot 4+1}=\frac{\sqrt[3]{4}}{9}.
Para simplificar a escrita, defino
r=\sqrt[3]{x},\qquad s=\sqrt[3]{4}.
Então
f(x)-f(4)=\frac{r}{2x+1}-\frac{s}{9}=\frac{9r-s(2x+1)}{9(2x+1)}.

Passo 3

Vou transformar a expressão do numerador em coisas proporcionais a r-s e a x-4, porque r e s estão ligados por r^3=x e s^3=4. Escrevo
9r-s(2x+1)=9(r-s)+s\bigl(9-(2x+1)\bigr).
Como 9-(2x+1)=8-2x=2(4-x), temos
9r-s(2x+1)=9(r-s)-2s(x-4).
Portanto
f(x)-f(4)=\frac{9(r-s)-2s(x-4)}{9(2x+1)}.

Passo 4

Usarei a identidade entre diferença de cubos para relacionar r-s e x-4:
r^3-s^3=x-4=(r-s)(r^2+rs+s^2),
logo, para r\neq s,
r-s=\frac{x-4}{r^2+rs+s^2}.
Assim posso escrever uma desigualdade para |r-s|:
|r-s|=\frac{|x-4|}{r^2+rs+s^2}.
Agora escolho um intervalo pequeno em torno de 4 para controlar todos os termos. Tomo por exemplo \delta_0=1. Se |x-4|<\delta_0 então x\in(3,5). Para tais x vale:
  • 2x+1 satisfaz |2x+1|\ge 2\cdot 3+1=7.
  • Como x\in(3,5) então r=\sqrt[3]{x} e s=\sqrt[3]{4} são positivos e, em particular,
r^2+rs+s^2 \ge s^2 >0.
Portanto, usando |r-s|=\dfrac{|x-4|}{r^2+rs+s^2}, obtemos a estimativa simples
|r-s|\le \frac{|x-4|}{s^2}.

Passo 5

Agora volto à expressão de |f(x)-f(4)| e uso as desigualdades anteriores. Da fórmula do Passo 3,
|f(x)-f(4)|=\frac{|9(r-s)-2s(x-4)|}{9|2x+1|}\le\frac{9|r-s|+2s|x-4|}{9|2x+1|}.
Para x com |x-4|<1 temos |2x+1|\ge 7, e também |r-s|\le |x-4|/s^2. Substituindo:
|f(x)-f(4)|\le \frac{9\cdot\frac{|x-4|}{s^2}+2s|x-4|}{9\cdot 7} =|x-4|\cdot\frac{\dfrac{9}{s^2}+2s}{63}.
Defino a constante positiva
K=\frac{\dfrac{9}{s^2}+2s}{63}=\frac{9/s^2+2s}{63},
onde s=\sqrt[3]{4} é fixo. Assim obtive a desigualdade útil
|f(x)-f(4)|\le K\,|x-4|
sempre que |x-4|<1.
Intuição rápida: perto de x=4 a função comporta-se como uma constante vezes |x-4|, portanto podemos transformar um requisito em \varepsilon numa condição sobre |x-4|.

Passo 6

Agora faço a escolha \delta=\min\{1,\varepsilon/K\}. Verifico que com essa escolha, sempre que |x-4|<\delta temos:
  • como \delta\le 1, vale a estimativa do passo anterior e, portanto,
|f(x)-f(4)|\le K|x-4|<K\cdot\frac{\varepsilon}{K}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição da definição: dado qualquer \varepsilon>0 escolhemos \delta=\min\{1,\varepsilon/K\} e garantimos |f(x)-f(4)|<\varepsilon sempre que |x-4|<\delta.

Passo 7

Conclusão lógica: como para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (construído acima) que faz |f(x)-f(4)|<\varepsilon sempre que |x-4|<\delta, então, pela definição epsilón–delta, a função f é contínua em p=4.

Resposta

A função f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{2x+1} é contínua em p=4.

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