Prove pela definição que as seguintes funções são contínuas nos pontos especificados:
a) f(x) = x^4 em x = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar, usando a definição, que a função é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade e como usar a definição formal dela para chegar à conclusão. A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente o conceito de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar da definição de continuidade e calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso à nossa função no ponto .

Passo 3

Primeiro, verificamos se está definida. Calculando:
Então, está definida e vale 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Sabemos que as funções polinomiais são contínuas em todo lugar, mas vamos calcular para ficar claro:
Então, o limite existe e vale 1.

Passo 5

Finalmente, comparamos o limite com :
Como as três condições de continuidade são satisfeitas, podemos concluir que a função é contínua no ponto .

Resposta

Portanto, é contínua em .

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