Prove a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
quaisquer que sejam os números complexos
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz no espaço
, ou seja, para quaisquer vetores
de números complexos, mostrar que
Para isso vamos usar o produto interno canônico em
,
e o fato de que
para todo
.
Passo 2
Observe que, para qualquer escalar
, o vetor
satisfaz
Ao expandir, usamos linearidade conjugada no segundo argumento:
Passo 3
Escolhemos agora
Substituindo essa
na expressão de
, obtemos
isto é,
Passo 4
Por fim, basta notar que
e
.
Tirando raiz quadrada em ambos os lados, chega-se à desigualdade desejada:
Tirando raiz quadrada em ambos os lados, chega-se à desigualdade desejada:
ou seja,
Resposta
A desigualdade de Cauchy–Schwarz em
fica assim provada.