Prove a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
\left|\sum_{k=1}^{n} z_{k} \bar{w}_{k}\right| \leq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|w_{k}\right|^{2}}
quaisquer que sejam os números complexos z_{1}, w_{1}, \ldots, z_{n}, w_{n}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz no espaço \mathbb{C}^n, ou seja, para quaisquer vetores
z=(z_{1},\dots,z_{n}),\quad w=(w_{1},\dots,w_{n})
de números complexos, mostrar que
\left|\sum_{k=1}^{n}z_{k}\,\overline{w_{k}}\right| \;\le\; \sqrt{\sum_{k=1}^{n}|z_{k}|^{2}}\;\cdot\;\sqrt{\sum_{k=1}^{n}|w_{k}|^{2}}.
Para isso vamos usar o produto interno canônico em \mathbb{C}^n,
\langle z,w\rangle \;=\;\sum_{k=1}^{n}z_{k}\,\overline{w_{k}},
e o fato de que \|u\|^{2}=\langle u,u\rangle\ge0 para todo u.

Passo 2

Observe que, para qualquer escalar \lambda\in\mathbb{C}, o vetor z+\lambda\,w satisfaz
0\;\le\;\|\,z+\lambda\,w\|^{2} \;=\; \langle z+\lambda w,\;z+\lambda w\rangle.
Ao expandir, usamos linearidade conjugada no segundo argumento:
\|z+\lambda w\|^{2} = \langle z,z\rangle \;+\;\lambda\,\langle w,z\rangle \;+\;\overline{\lambda}\,\langle z,w\rangle \;+\;|\lambda|^{2}\,\langle w,w\rangle.

Passo 3

Escolhemos agora
\lambda \;=\; -\,\frac{\langle w,z\rangle}{\langle w,w\rangle}, \quad\text{desde que }w\neq0.
Substituindo essa \lambda na expressão de \|z+\lambda w\|^{2}\ge0, obtemos
0 \;\le\; \langle z,z\rangle \;-\; \frac{|\langle z,w\rangle|^{2}}{\langle w,w\rangle},
isto é,
|\langle z,w\rangle|^{2} \;\le\; \langle z,z\rangle\;\cdot\;\langle w,w\rangle.

Passo 4

Por fim, basta notar que \langle z,z\rangle=\sum_{k=1}^{n}|z_{k}|^{2} e \langle w,w\rangle=\sum_{k=1}^{n}|w_{k}|^{2}.
Tirando raiz quadrada em ambos os lados, chega-se à desigualdade desejada:
\bigl|\langle z,w\rangle\bigr| \;\le\; \sqrt{\langle z,z\rangle}\;\cdot\;\sqrt{\langle w,w\rangle},
ou seja,
\left|\sum_{k=1}^{n}z_{k}\,\overline{w_{k}}\right| \;\le\; \sqrt{\sum_{k=1}^{n}|z_{k}|^{2}} \;\cdot\; \sqrt{\sum_{k=1}^{n}|w_{k}|^{2}}.

Resposta

A desigualdade de Cauchy–Schwarz em \mathbb{C}^n fica assim provada.

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