Prove que, para todo
, valem as identidades
Conclua da primeira identidade que
é raiz da equação
0 e, consequentemente, é um número irracional.
Passo 1
O enunciado nos pede para demonstrar as identidades de triplo ângulo
e, a partir da primeira, mostrar que
satisfaz a equação
e, portanto, é irracional. O conteúdo utilizado será a fórmula de adição de ângulos em trigonometria e o Teorema das Raízes Racionais para polinômios.
Passo 2
Para derivar
usamos a fórmula de soma de cossenos:
Sabemos ainda que
e .
Substituindo essas expressões:
e
Substituindo essas expressões:
Desenvolvendo e usando
, obtemos
Passo 3
Para
aplicamos a fórmula de soma de senos:
Com
e
, vem
Reagrupando e usando
, resulta
Passo 4
Tomando
na identidade de
, escrevemos
Como
e definindo
, temos
Passo 5
Pelo Teorema das Raízes Racionais, as únicas candidatas a raízes racionais de
são
.
Testando cada uma delas no polinômio, nenhuma anula a expressão. Portanto não existem raízes racionais, e assim é irracional.
Testando cada uma delas no polinômio, nenhuma anula a expressão. Portanto não existem raízes racionais, e assim
Resposta
O número
satisfaz a equação
e, por não haver raízes racionais, concluímos que
é irracional.