Prove a equação da regra da alavanca para a obtenção da fração das fases em campo bifásico, para um sistema binário.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos como, num sistema binário em equilíbrio na região bifásica, as frações de massa das fases alpha e beta (denotadas por walpha e wbeta) podem ser obtidas apenas por balanço de massa e de componente. Vamos usar como dados:
– a composição global do ligante C0 (por exemplo, teor em % em peso de B no faz-tudo),
– as composições de equilíbrio das fases alpha e beta, dadas por Calpha e Cbeta.

Passo 2

Primeiro fazemos o balanço de massa total: a soma das frações de massa de cada fase deve dar 1, pois o total de massa do sistema está todo distribuído entre alpha e beta. Logo,
walpha + wbeta = 1

Passo 3

Agora fazemos o balanço do componente-chave (por exemplo, do elemento B). A fração global C0 de B no sistema é a média ponderada das frações em cada fase:
C0 = walpha,Calpha + wbeta,Cbeta

Passo 4

Usamos wbeta = 1 - walpha na equação do balanço de componente:
C0 = walpha,Calpha + (1 - walpha),Cbeta = Cbeta + walpha,(Calpha - Cbeta)
Rearranjando para walpha:
walpha,(Calpha - Cbeta) = C0 - Cbeta Longrightarrow walpha = Cbeta - C0Cbeta - Calpha
Em seguida, de wbeta = 1 - walpha obtemos
wbeta = 1 - Cbeta - C0Cbeta - Calpha = C0 - CalphaCbeta - Calpha

Resposta

walpha = Cbeta - C0Cbeta - Calpha, wbeta = C0 - CalphaCbeta - Calpha

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