Queremos avaliar o limite quando h\to 0 da razão \dfrac{f(a+h/2)-f(a-h/2)}{h}.
Não se pede nenhum método específico no enunciado; vamos analisar diretamente esse limite usando desenvolvimentos em torno de a.
Passo 2
Plano de ataque (breve, sem resolver ainda): vamos desenvolver f em torno de a para pontos simétricos a+\tfrac{h}{2} e a-\tfrac{h}{2}, usar o fato de que f é diferenciável (duas vezes) para controlar os restos, subtrair as expansões e dividir por h. Vou explicar cada ferramenta usada (desenvolvimento em séries/taylor até a ordem necessária e o significado de o(\cdot)) para que você aprenda a técnica e consiga aplicar em prova.
Passo 3
Ferramenta: expansão de Taylor com resto pequeno. Como f é duas vezes derivável em a, podemos escrever, para t pequeno,
onde o resto r(t) satisfaz \dfrac{r(t)}{t^{2}}\to 0 quando t\to 0. Em notação pequena, dizemos r(t)=o(t^{2}). Vou explicar: r(t)=o(t^{2}) significa que para qualquer sequência t_n\to 0 temos r(t_n)/t_n^2\to 0. Essa forma é suficiente para controlar termos de ordem superior quando dividimos por potências de h.
Passo 4
Aplicando a expansão com t=\tfrac{h}{2} e t=-\tfrac{h}{2}:
Isto mostra que o limite existe e vale f'(a), não f''(a).
Passo 7
Para consolidar: um contraexemplo simples confirma que a igualdade proposta no enunciado é falsa em geral. Tome f(x)=x^{2}. Então f''(x)=2 para todo x. Calcule o limite:
o que, ao fazer h\to 0, dá 2a. Isso é exatamente f'(a)=2a, e não f''(a)=2, salvo no caso especial a=1. Então a igualdade pedida no enunciado não é verdadeira de forma geral.
Passo 8
Observação final (útil para prova): a identidade correta que relaciona o segundo derivado com diferenças centradas é
que se obtém pela mesma ideia de expandir em Taylor até a ordem dois e observar que aí o termo de ordem dois permanece, enquanto os termos ímpares se cancelam. Essa é a fórmula que costuma aparecer em exercícios e em aproximações numéricas para f''.
Resposta
\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(a+\tfrac{h}{2}\bigr)-f\bigl(a-\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}=f'(a), portanto a igualdade proposta com f''(a) é falsa em geral.