Prove que se f é duas vezes derivável em x=a então
f^{\prime \prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(a+\frac{h}{2}\right)-f\left(a-\frac{h}{2}\right)}{h}

Passo 1

O enunciado dá que f é duas vezes derivável em x=a (portanto f'(a) e f''(a) existem) e pede para provar a igualdade
f''(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\bigl(a+\frac{h}{2}\bigr)-f\bigl(a-\frac{h}{2}\bigr)}{h}.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é duas vezes derivável em a.
  • Queremos avaliar o limite quando h\to 0 da razão \dfrac{f(a+h/2)-f(a-h/2)}{h}.
    Não se pede nenhum método específico no enunciado; vamos analisar diretamente esse limite usando desenvolvimentos em torno de a.

Passo 2

Plano de ataque (breve, sem resolver ainda): vamos desenvolver f em torno de a para pontos simétricos a+\tfrac{h}{2} e a-\tfrac{h}{2}, usar o fato de que f é diferenciável (duas vezes) para controlar os restos, subtrair as expansões e dividir por h. Vou explicar cada ferramenta usada (desenvolvimento em séries/taylor até a ordem necessária e o significado de o(\cdot)) para que você aprenda a técnica e consiga aplicar em prova.

Passo 3

Ferramenta: expansão de Taylor com resto pequeno. Como f é duas vezes derivável em a, podemos escrever, para t pequeno,
f(a+t)=f(a)+f'(a)\,t+\tfrac{1}{2}f''(a)\,t^{2}+r(t),
onde o resto r(t) satisfaz \dfrac{r(t)}{t^{2}}\to 0 quando t\to 0. Em notação pequena, dizemos r(t)=o(t^{2}). Vou explicar: r(t)=o(t^{2}) significa que para qualquer sequência t_n\to 0 temos r(t_n)/t_n^2\to 0. Essa forma é suficiente para controlar termos de ordem superior quando dividimos por potências de h.

Passo 4

Aplicando a expansão com t=\tfrac{h}{2} e t=-\tfrac{h}{2}:
Para t=\tfrac{h}{2} temos
f\!\left(a+\tfrac{h}{2}\right)=f(a)+f'(a)\tfrac{h}{2}+\tfrac{1}{2}f''(a)\left(\tfrac{h}{2}\right)^{2}+r\!\left(\tfrac{h}{2}\right),
com r\!\left(\tfrac{h}{2}\right)=o\!\left(\left(\tfrac{h}{2}\right)^{2}\right)=o(h^{2}).
Para t=-\tfrac{h}{2} temos
f\!\left(a-\tfrac{h}{2}\right)=f(a)-f'(a)\tfrac{h}{2}+\tfrac{1}{2}f''(a)\left(\tfrac{h}{2}\right)^{2}+r\!\left(-\tfrac{h}{2}\right),
com r\!\left(-\tfrac{h}{2}\right)=o(h^{2}) também.

Passo 5

Subtraindo as duas expressões (para obter o numerador da fração do limite):
f\!\left(a+\tfrac{h}{2}\right)-f\!\left(a-\tfrac{h}{2}\right) = \biggl(f'(a)\tfrac{h}{2}\biggr)-\biggl(-f'(a)\tfrac{h}{2}\biggr) + \underbrace{\tfrac{1}{2}f''(a)\left(\tfrac{h}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}f''(a)\left(\tfrac{h}{2}\right)^{2}}_{=0} + r\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-r\!\left(-\tfrac{h}{2}\right).
Observe que o termo em f''(a) cancela porque é de ordem par (mesmo em t), enquanto o termo linear em f'(a) soma. Simplificando:
f\!\left(a+\tfrac{h}{2}\right)-f\!\left(a-\tfrac{h}{2}\right)=f'(a)\,h + \bigl(r\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-r\!\left(-\tfrac{h}{2}\right)\bigr).
Como r(\pm h/2)=o(h^{2}), a diferença r(h/2)-r(-h/2)=o(h^{2}). Logo o numerador é
f'(a)\,h + o(h^{2}).

Passo 6

Dividindo pelo h que está no denominador da expressão do limite, obtemos
\frac{f\bigl(a+\tfrac{h}{2}\bigr)-f\bigl(a-\tfrac{h}{2}\bigr)}{h} = f'(a) + \frac{o(h^{2})}{h} = f'(a) + o(h).
Quando h\to 0 temos o(h)\to 0. Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(a+\tfrac{h}{2}\bigr)-f\bigl(a-\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}=f'(a).
Isto mostra que o limite existe e vale f'(a), não f''(a).

Passo 7

Para consolidar: um contraexemplo simples confirma que a igualdade proposta no enunciado é falsa em geral. Tome f(x)=x^{2}. Então f''(x)=2 para todo x. Calcule o limite:
\frac{f\bigl(a+\tfrac{h}{2}\bigr)-f\bigl(a-\tfrac{h}{2}\bigr)}{h} =\frac{(a+\tfrac{h}{2})^{2}-(a-\tfrac{h}{2})^{2}}{h} =\frac{2a h}{h}=2a,
o que, ao fazer h\to 0, dá 2a. Isso é exatamente f'(a)=2a, e não f''(a)=2, salvo no caso especial a=1. Então a igualdade pedida no enunciado não é verdadeira de forma geral.

Passo 8

Observação final (útil para prova): a identidade correta que relaciona o segundo derivado com diferenças centradas é
f''(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^{2}},
que se obtém pela mesma ideia de expandir em Taylor até a ordem dois e observar que aí o termo de ordem dois permanece, enquanto os termos ímpares se cancelam. Essa é a fórmula que costuma aparecer em exercícios e em aproximações numéricas para f''.

Resposta

\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f\bigl(a+\tfrac{h}{2}\bigr)-f\bigl(a-\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}=f'(a), portanto a igualdade proposta com f''(a) é falsa em geral.

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