Prove que:
\forall a, b \in \mathbb{R}, a^{2}+a b+b^{2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para provar que para quaisquer a,b\in\mathbb{R} vale
a^{2}+ab+b^{2}\ge 0.
O que vamos usar é a técnica de completar quadrado, pois quadrados de números reais são sempre não negativos.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em a. Observe que
a^{2}+ab+b^{2} = a^{2}+ab+\Bigl(\frac{b}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{b}{2}\Bigr)^{2} + b^{2}.
Reagrupando, temos
a^{2}+ab+b^{2} =\Bigl(a+\frac{b}{2}\Bigr)^{2} - \frac{b^{2}}{4} + b^{2} =\Bigl(a+\frac{b}{2}\Bigr)^{2} + \frac{3}{4}\,b^{2}.

Passo 3

Como \bigl(a+\tfrac b2\bigr)^{2}\ge0 e \tfrac34\,b^{2}\ge0 para todo a,b\in\mathbb{R}, a soma
\Bigl(a+\frac{b}{2}\Bigr)^{2} + \frac{3}{4}\,b^{2}
também é não negativa. Portanto
a^{2}+ab+b^{2}\;=\;\Bigl(a+\frac{b}{2}\Bigr)^{2} + \frac{3}{4}\,b^{2}\;\ge\;0.

Resposta

Para todo a,b\in\mathbb{R} vale
a^{2}+ab+b^{2}\ge 0.

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