Prove que:
A função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^3
é estritamente crescente em \mathbb{R}. Isso significa provar que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R} com x<y, vale f(x)<f(y). Vamos usar a fatoração da diferença de cubos.

Passo 2

Sejam x,y\in\mathbb{R} tais que x<y. Então
y^3 - x^3 = (y - x)\,(y^2 + x\,y + x^2).
Como y-x>0 e
y^2 + x\,y + x^2 = \tfrac12\bigl((y+x)^2 + (y-x)^2\bigr)>0
(exceto no caso x=y, impossível aqui), temos
y^3 - x^3 > 0,
ou seja f(y)>f(x). Logo, sempre que x<y ocorre f(x)<f(y).

Resposta

A função f(x)=x^3 é estritamente crescente em \mathbb{R}.

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