Prove que:
\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{2}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+\frac{2}{3^{6}}+\cdots=\frac{5}{8}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
S = \frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{2}{3^{4}}+\frac{1}{3^{5}}+\frac{2}{3^{6}}+\cdots
Este é um problema de soma de série geométrica, aproveitando o padrão que repete “ \tfrac1{3^{\text{ímpar}}}í e depois \tfrac2{3^{\text{par}}}”.

Passo 2

Agrupamos em blocos de dois termos:
S \;=\;\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3^{2k+1}}+\frac{2}{3^{2k+2}}\Bigr).
Dentro de cada bloco, fatoramos \frac1{3^{2k+1}}:
\frac{1}{3^{2k+1}}+\frac{2}{3^{2k+2}} =\frac{1}{3^{2k+1}}\Bigl(1+\frac{2}{3}\Bigr) =\frac{1}{3^{2k+1}}\cdot\frac{5}{3} =\frac{5}{3^{2k+2}}.
Logo
S = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{5}{3^{2k+2}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{5}{9}\,\Bigl(\frac{1}{9}\Bigr)^{k}.

Passo 3

Reconhecemos uma PG infinita com primeiro termo
a = \frac{5}{9}
e razão
r = \frac{1}{9}.
Como |r|<1, a soma é
S = \frac{a}{1-r} = \frac{\tfrac{5}{9}}{1-\tfrac{1}{9}} = \frac{\tfrac{5}{9}}{\tfrac{8}{9}} = \frac{5}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{8}

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