Prove que a função f(x)=ln (x^2+2 x+1) é bem definida e injetora quando restringida a R>= 0. Calcule f(R>= 0) e dê uma fórmula para a inversa f^-1 : f(R>= 0) R>= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função está bem definida e é injetora quando a gente olha só os números não negativos ( ). Depois, vamos descobrir qual é o conjunto de valores que a função atinge ( ) e encontrar uma fórmula para a função inversa . Para isso, vamos usar conceitos de funções, propriedades do logaritmo e noções de injetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função está bem definida para todo . Uma função logarítmica está bem definida se o argumento for positivo.

Passo 3

Vamos analisar o argumento do logaritmo:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Como qualquer número ao quadrado é positivo ou zero, e estamos considerando (x + 1)^2 >= 1 , temos:
Então, , que é sempre positivo. Assim, está bem definido para todo .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é injetora em f'(x) = ddx ln((x + 1)^2) = 2(x + 1)(x + 1)^2 = 2x + 1 . Uma função é injetora se elementos diferentes do dom��nio resultam em elementos diferentes no contradomínio.
Para isso, vamos ver se a função é crescente ou decrescente. Calculando a derivada de :
Para , , então . Como a derivada é positiva, a função é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 5

Vamos agora encontrar f(x) = ln((x + 1)^2) = 2 ln(x + 1) , ou seja, todos os valores que f(0) = 2 ln(1) = 0 pode assumir quando f(x) = 2 ln(x + 1) infty . Sabemos que:
Quando varia de 0 ao infinito:
  • Quando :
  • Quando tende ao infinito:
Então, .

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a inversa y = 2 ln(x + 1) . Queremos expressar y2 = ln(x + 1) em função de e^y2 = x + 1 onde x = e^y2 - 1 .
Começamos com:
f^-1(y) = e^y2 - 1
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, aplicamos a exponencial para se livrar do logaritmo:
Finalmente, isolamos :
Então, a função inversa é:

Resposta

A função f^-1(y) = e^y2 - 1 está bem definida e é injetora para todo . O conjunto de valores que assume é . A função inversa é dada por:

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