Prove que a função
é bem definida e injetora quando restringida a
. Calcule
e dê uma fórmula para a inversa
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
está bem definida e é injetora quando a gente olha só os números não negativos (
). Depois, vamos descobrir qual é o conjunto de valores que a função atinge (
) e encontrar uma fórmula para a função inversa
. Para isso, vamos usar conceitos de funções, propriedades do logaritmo e noções de injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função está bem definida para todo
. Uma função logarítmica
está bem definida se o argumento
for positivo.
Passo 3
Vamos analisar o argumento do logaritmo:
Como qualquer número ao quadrado é positivo ou zero, e estamos considerando
, temos:
Então,
, que é sempre positivo. Assim,
está bem definido para todo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função é injetora em
. Uma função é injetora se elementos diferentes do dom��nio resultam em elementos diferentes no contradomínio.
Para isso, vamos ver se a função é crescente ou decrescente. Calculando a derivada de
:
Para
,
, então
. Como a derivada é positiva, a função é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Passo 5
Vamos agora encontrar
, ou seja, todos os valores que
pode assumir quando
. Sabemos que:
Quando
varia de 0 ao infinito:
- Quando
:
- Quando
tende ao infinito:
Então,
.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a inversa
. Queremos expressar
em função de
onde
.
Começamos com:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, aplicamos a exponencial para se livrar do logaritmo:
Finalmente, isolamos
:
Então, a função inversa é:
Resposta
A função
está bem definida e é injetora para todo
. O conjunto de valores que
assume é
. A função inversa é dada por: