Prove que.
(h) Se f(x)=\frac{1+\cos 2 x}{2}, então f^{\prime}(x)=-2 \operatorname{sen} x \cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
O conteúdo envolvido é a derivação de funções trigonométricas e aplicação da regra de cadeia.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x).
A derivada de \tfrac12 é zero. Para derivar \cos(2x), usamos a regra de cadeia: se g(x)=\cos(u(x)), então
g'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui u(x)=2x e u'(x)=2, logo
\frac{d}{dx}\cos(2x)=-\sin(2x)\cdot2.

Passo 3

Multiplicando pelo fator \tfrac12 que estava na frente, obtemos
f'(x)=\frac{1}{2}\bigl(-2\sin(2x)\bigr)=-\sin(2x).

Passo 4

Basta agora usar a identidade trigonométrica
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x),
logo
f'(x)=-\,2\sin(x)\cos(x).

Resposta

f'(x)=-2\sin(x)\cos(x).

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