Prove as identidades abaixo, para x \neq \frac{n \pi}{2} :
\operatorname{sec} x \cdot \operatorname{cotg} x=\operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica \operatorname{sec} x \cdot \cot x = \csc x
considerando x \neq \frac{n\pi}{2}, de modo a garantir que \cos x e \sin x sejam não nulos. Vamos usar as definições básicas das razões trigonométricas.

Passo 2

Relembremos as definições: \displaystyle \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}, \displaystyle \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \displaystyle \csc x = \frac{1}{\sin x}.
O domínio x \neq \frac{n\pi}{2} assegura que \cos x\neq0 e \sin x\neq0.

Passo 3

Substituindo as definições no produto \operatorname{sec} x \cdot \cot x, temos
\operatorname{sec} x \cdot \cot x = \frac{1}{\cos x}\,\cdot\,\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x}.
Como \csc x = 1/\sin x, concluímos que
\operatorname{sec} x \cdot \cot x = \csc x.

Resposta

\displaystyle \operatorname{sec} x \cdot \cot x = \csc x.

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