Prove as identidades abaixo, para x \neq \frac{n \pi}{2} :
\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x}=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x} = \operatorname{sen} x,
para x\neq \frac{n\pi}{2}. Vamos usar as definições \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}, \operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} e \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} e fazer manipulação algébrica.

Passo 2

Escrevendo o lado esquerdo em termos de \operatorname{sen} x e \cos x:
\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x} = \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}}.
Colocamos tudo sobre um mesmo denominador no denominador composto.

Passo 3

No denominador temos
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x}{\cos x\,\operatorname{sen} x} = \frac{1}{\cos x\,\operatorname{sen} x},
pois \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1. Logo
\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x} = \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x\,\operatorname{sen} x}} = \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x\,\operatorname{sen} x) = \operatorname{sen} x.

Resposta

\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x} = \operatorname{sen} x,
conforme desejado.

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