Prove as identidades:
\frac{C_{n}^{p}}{p+1}=\frac{C_{n+1}^{p+1}}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade \displaystyle \frac{C_{n}^{p}}{p+1}=\frac{C_{n+1}^{p+1}}{n+1}.
Vamos usar a definição de coeficiente binomial em termos de fatoriais e simplificar ambos os lados.

Passo 2

Pela definição de coeficiente binomial,
C_{n}^{p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}
Logo,
\frac{C_{n}^{p}}{p+1} = \frac{1}{p+1}\,\frac{n!}{p!\,(n-p)!} = \frac{n!}{(p+1)!\,(n-p)!}.

Passo 3

Do mesmo modo,
C_{n+1}^{p+1} = \frac{(n+1)!}{(p+1)!\,\bigl((n+1)-(p+1)\bigr)!} = \frac{(n+1)!}{(p+1)!\,(n-p)!},
e portanto
\frac{C_{n+1}^{p+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1}\,\frac{(n+1)!}{(p+1)!\,(n-p)!} = \frac{n!}{(p+1)!\,(n-p)!}.

Passo 4

Observamos que ambas as expressões simplificadas coincidem:
\frac{C_{n}^{p}}{p+1} = \frac{n!}{(p+1)!\,(n-p)!} = \frac{C_{n+1}^{p+1}}{n+1}.

Resposta

A identidade \displaystyle \frac{C_{n}^{p}}{p+1}=\frac{C_{n+1}^{p+1}}{n+1} está provada.

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