Prove as identidades:
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para provar que ela é igual a
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Objetivo: mostrar que a fração acima vale
(onde ), com as devidas observações sobre domínio.
Passo 2
Fatorar numerador e denominador para simplificar. Retirando
do numerador e
do denominador:
Passo 3
Lembrar (e usar) a identidade do ângulo duplo para o cosseno. A identidade é
Usando
obtemos as formas alternativas
Estas duas expressões são exatamente os fatores que aparecem nas fatorações do passo anterior:
e
.
Passo 4
Substituir no numerador e denominador as expressões por
:
Agora, para
tais que
e
, pode-se cancelar
e obter
Assim, a simplificação algébrica dá exatamente
.
Passo 5
Observações sobre domínio e pontos especiais (importante na prova):
- A expressão original está escrita como uma fração, logo só faz sentido (está definida) quando o denominador for diferente de zero, isto é quando
ou seja
e
.
- A simplificação por cancelamento mostrou igualdade com
para todos os em que ambas as expressões estão definidas (isto é, quando e ). - Se
mas , então numerador e denominador originais são ambos zero (forma ) e a expressão original está indeterminada ali; a forma simplificada tem valor finito nesses pontos, mas isso não significa que a igualdade valha como igualdade de valores naquele ponto específico (a igualdade vale como identidade algébrica depois de simplificação, porém a expressão original não está definida nesses ). Em provas normalmente basta afirmar a igualdade para todos os em que a expressão original está definida. - Em particular, quando
ambas as expressões estão indefinidas e não se considera a igualdade.