Prove as identidades:
\frac{\operatorname{sen}(x)-2 \operatorname{sen}^{3}(x)}{2 \cos ^{3}(x)-\cos (x)}=\operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{\operatorname{sen}(x)-2 \operatorname{sen}^{3}(x)}{2 \cos^{3}(x)-\cos(x)}
e pede para provar que ela é igual a \operatorname{tg}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: \operatorname{sen}(x)-2\operatorname{sen}^{3}(x).
  • Denominador: 2\cos^{3}(x)-\cos(x).
  • Objetivo: mostrar que a fração acima vale \operatorname{tg}(x) (onde \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}), com as devidas observações sobre domínio.

Passo 2

Fatorar numerador e denominador para simplificar. Retirando \operatorname{sen}(x) do numerador e \cos(x) do denominador:
\operatorname{sen}(x)-2\operatorname{sen}^{3}(x)=\operatorname{sen}(x)\bigl(1-2\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr),
2\cos^{3}(x)-\cos(x)=\cos(x)\bigl(2\cos^{2}(x)-1\bigr).

Passo 3

Lembrar (e usar) a identidade do ângulo duplo para o cosseno. A identidade é
\cos(2x)=\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x).
Usando \cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1 obtemos as formas alternativas
\cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^{2}(x) \qquad\text{e}\qquad \cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1.
Estas duas expressões são exatamente os fatores que aparecem nas fatorações do passo anterior: 1-2\operatorname{sen}^{2}(x)=\cos(2x) e 2\cos^{2}(x)-1=\cos(2x).

Passo 4

Substituir no numerador e denominador as expressões por \cos(2x):
\frac{\operatorname{sen}(x)\bigl(1-2\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr)}{\cos(x)\bigl(2\cos^{2}(x)-1\bigr)} = \frac{\operatorname{sen}(x)\,\cos(2x)}{\cos(x)\,\cos(2x)}.
Agora, para x tais que \cos(2x)\neq 0 e \cos(x)\neq 0, pode-se cancelar \cos(2x) e obter
\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}=\operatorname{tg}(x).
Assim, a simplificação algébrica dá exatamente \operatorname{tg}(x).

Passo 5

Observações sobre domínio e pontos especiais (importante na prova):
  • A expressão original está escrita como uma fração, logo só faz sentido (está definida) quando o denominador for diferente de zero, isto é quando
\cos(x)\bigl(2\cos^{2}(x)-1\bigr)\neq 0,
ou seja \cos(x)\neq 0 e \cos(2x)\neq 0.
  • A simplificação por cancelamento mostrou igualdade com \operatorname{tg}(x) para todos os x em que ambas as expressões estão definidas (isto é, quando \cos(x)\neq 0 e \cos(2x)\neq 0).
  • Se \cos(2x)=0 mas \cos(x)\neq 0, então numerador e denominador originais são ambos zero (forma 0/0) e a expressão original está indeterminada ali; a forma simplificada \operatorname{tg}(x) tem valor finito nesses pontos, mas isso não significa que a igualdade valha como igualdade de valores naquele ponto específico (a igualdade vale como identidade algébrica depois de simplificação, porém a expressão original não está definida nesses x). Em provas normalmente basta afirmar a igualdade para todos os x em que a expressão original está definida.
  • Em particular, quando \cos(x)=0 ambas as expressões estão indefinidas e não se considera a igualdade.

Resposta

\operatorname{tg}(x)

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