Determine os valores de
para que as equação seja satisfeita:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
que satisfazem
Informações e condições dadas:
- A base do logaritmo é
, que é o mesmo que (positivo e diferente de ). - O argumento do logaritmo é a expressão
. - Lembrete importante (domínio): para o logaritmo estar definido é necessário que o argumento seja positivo, ou seja
.
O que se pede: encontrar todos osreais que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Propriedade fundamental dos logaritmos que vamos usar: para qualquer base
com
e
,
porque
. Aqui a base
satisfaz
e
, logo podemos aplicar essa propriedade diretamente ao argumento.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso problema obtemos a equação em
Agora isolamos tudo num lado para formar uma equação quadrática padrão:
Passo 4
Resolver a equação quadrática
.
Método 1 — fatoração: procurar fatores inteiros do produto
que somem
. Esses são
e
. Reescrevendo o termo do meio:
agrupando:
isso dá
Portanto as soluções são as raízes dos fatores:
Método 2 — fórmula de Bhaskara (verificação rápida): o discriminante é
que dá exatamente
e
. Ambos os métodos coincidem.
Passo 5
Verificação das condições de existência:
- Para
e o argumento vale (por construção), e , então o logaritmo está bem definido. - A base
é positiva e diferente de , então não há problema com a base.
Logo as duas soluções são válidas.