Determine os valores de x para que as equação seja satisfeita:
\log _{\sqrt[2]{2}}\left(3 x^{2}+7 x+3\right)=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x que satisfazem
\log_{\sqrt[2]{2}}\!\bigl(3x^{2}+7x+3\bigr)=0.
Informações e condições dadas:
  • A base do logaritmo é \sqrt[2]{2}, que é o mesmo que \sqrt{2} (positivo e diferente de 1).
  • O argumento do logaritmo é a expressão 3x^{2}+7x+3.
  • Lembrete importante (domínio): para o logaritmo estar definido é necessário que o argumento seja positivo, ou seja 3x^{2}+7x+3>0.
    O que se pede: encontrar todos os x reais que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Propriedade fundamental dos logaritmos que vamos usar: para qualquer base b com b>0 e b\neq1,
\log_{b}(y)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y=1,
porque b^{0}=1. Aqui a base \sqrt{2} satisfaz b>0 e b\neq1, logo podemos aplicar essa propriedade diretamente ao argumento.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso problema obtemos a equação em x
3x^{2}+7x+3=1.
Agora isolamos tudo num lado para formar uma equação quadrática padrão:
3x^{2}+7x+3-1=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}+7x+2=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática \,3x^{2}+7x+2=0.
Método 1 — fatoração: procurar fatores inteiros do produto 3\cdot2=6 que somem 7. Esses são 1 e 6. Reescrevendo o termo do meio:
3x^{2}+x+6x+2 = 0,
agrupando:
x(3x+1)+2(3x+1)=0,
isso dá
(3x+1)(x+2)=0.
Portanto as soluções são as raízes dos fatores:
3x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{3},
x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2.
Método 2 — fórmula de Bhaskara (verificação rápida): o discriminante é
\Delta = 7^{2}-4\cdot3\cdot2 = 49-24 = 25,
x=\frac{-7\pm\sqrt{25}}{2\cdot3}=\frac{-7\pm5}{6},
que dá exatamente x=-\tfrac{1}{3} e x=-2. Ambos os métodos coincidem.

Passo 5

Verificação das condições de existência:
  • Para x=-\tfrac{1}{3} e x=-2 o argumento 3x^{2}+7x+3 vale 1 (por construção), e 1>0, então o logaritmo está bem definido.
  • A base \sqrt{2} é positiva e diferente de 1, então não há problema com a base.
    Logo as duas soluções são válidas.

Resposta

-2
-\tfrac{1}{3}

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