Prove as identidades:
\operatorname{sen} a+\operatorname{sen} b=2 \operatorname{sen} \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2}

Passo 1

Vamos provar a identidade
\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}
usando as fórmulas de adição e subtração de seno. Para isso, definimos
u = \frac{a+b}{2}, \quad v = \frac{a-b}{2}.

Passo 2

Da definição segue
a = u + v, \quad b = u - v.

Passo 3

Substituindo em \sin a + \sin b, obtemos
\sin a + \sin b = \sin(u+v) + \sin(u-v).

Passo 4

Aplicando as fórmulas
\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v,
\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v,
e somando, resulta
\sin(u+v)+\sin(u-v)=2\sin u\cos v.

Passo 5

Voltando às variáveis originais, isto é, u=(a+b)/2 e v=(a-b)/2, concluímos
\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}.

Resposta

\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}.

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