Prove por indução:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando indução, que para todo
vale
Isso é um típico problema de divisibilidade por indução: vamos verificar um caso base em
e depois fazer o passo indutivo.
Passo 2
Caso base (
):
Calculemos
Calculemos
Como
, concluímos que
. Portanto, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para um certo
já tenhamos
ou seja, existe um inteiro
tal que
Passo 4
Passo indutivo (
):
Começamos com a expressão para :
Começamos com a expressão para
Separe-o em duas parcelas:
Pela hipótese de indução,
, logo
que é múltiplo de
, e
também é múltiplo de
. Assim a soma
é múltiplo de
. Concluímos que
completando o passo indutivo.
Resposta
Por indução, fica provado que para todo
temos