Prove por indução:
b) \left(\forall n \in \mathbb{N}_{0}\right)\left(3 \mid\left(n^{3}+2 n\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n\in\mathbb{N}_{0}, que
3 \mid \bigl(n^{3}+2n\bigr).
O conteúdo é indução matemática: vamos verificar o caso base e depois o passo indutivo, mostrando que, se a propriedade vale para um n, então vale para n+1.

Passo 2

(Caso base) Para n=0, temos
0^{3}+2\cdot0 = 0.
Como 0 é múltiplo de 3, segue que
3 \mid \bigl(0^{3}+2\cdot0\bigr).
Logo, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

(Indução) Suponha que a propriedade seja verdadeira para um certo n\ge0, ou seja, que
3 \mid \bigl(n^{3}+2n\bigr).
Isso significa que existe um inteiro k tal que
n^{3}+2n = 3k.

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
3 \mid \bigl((n+1)^{3} + 2(n+1)\bigr).
Expandindo,
(n+1)^{3} + 2(n+1) = \bigl(n^{3}+3n^{2}+3n+1\bigr) + (2n+2) = \bigl(n^{3}+2n\bigr) + 3\bigl(n^{2}+n+1\bigr).
Pelo passo de indução temos n^{3}+2n = 3k, e 3(n^{2}+n+1) é claramente múltiplo de 3. Somando dois múltiplos de 3, conclui-se que
(n+1)^{3} + 2(n+1)
também é múltiplo de 3. Portanto,
3 \mid \bigl((n+1)^{3} + 2(n+1)\bigr).

Resposta

Portanto, por indução matemática, 3 divide n^{3}+2n para todo n\in\mathbb{N}_{0}.

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