Prove que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a integral de $ e^{\alpha x} $ em relação a $ x $ é igual a $ \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} + k $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a antiderivada de funções exponenciais. Precisamos entender como integrar funções do tipo $ e^{kx} $, onde $ k $ é uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função é a antiderivada dessa função. Ou seja, estamos procurando uma função $ F(x) $ cuja derivada seja $ e^{\alpha x} $. Matematicamente, queremos encontrar $ F(x) $ tal que:
Passo 3
Sabemos que a derivada de $ e^{\alpha x} $ em relação a $ x $ é:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia, onde a derivada de $ e^{u} $ é $ e^{u} \cdot u’ $. No nosso caso, $ u = \alpha x $, então $ u’ = \alpha $.
Passo 4
Agora, queremos a antiderivada, ou seja, a operação inversa da derivada. Se $ F’(x) = e^{\alpha x} $, então:
Baseando-nos na derivada que encontramos anteriormente, para obter $ e^{\alpha x} $ a partir de $ F(x) $, precisamos dividir por $ \alpha $.
Passo 5
Portanto, a antiderivada de $ e^{\alpha x} $ é:
Onde $ k $ é a constante de integração, que representa todas as possíveis constantes que podem ser adicionadas a uma antiderivada.