Esboce o gráfico da função:
f(x)=x^2x+1

Passo 1

A função dada é f(x)=x^2x+1. Para esboçar seu gráfico vamos precisar: determinar o domínio, os interceptos com os eixos, as assíntotas (verticais e oblíquas), os pontos críticos (onde f'(x)=0) e o comportamento em cada intervalo para montar os dois ramos da curva.

Passo 2

O domínio de f é todos os x tais que o denominador x+1neq0, ou seja, Rsetminus-1. Os interceptos com os eixos são: intercepto em y em x=0: f(0)=0^20+1=0, então o ponto (0,0). Para o intercepto em x basta resolver f(x)=0 que dá x^2=0, logo x=0, o mesmo ponto.

Passo 3

Para achar assíntotas verticais e oblíquas: a vertical ocorre em x=-1. Para a oblíqua dividimos polinômios:
x^2x+1=x-1+1x+1
Isso mostra que, quando xtopminfty, f(x)approx x-1. Logo há uma assíntota oblíqua y=x-1.

Passo 4

Agora vamos aos pontos críticos usando derivada. Usando regra do quociente:
f'(x)=2x(x+1)-x^2cdot1(x+1)^2=x^2+2x(x+1)^2=x(x+2)(x+1)^2

Passo 5

Os zeros de f'(x) são em x=0 e x=-2. Calculando valores:
f(0)=0, f(-2)=(-2)^2-2+1=4-1=-4

Passo 6

Analisando o sinal de f':
  • Para x<-2: x(x+2)>0 e denom. positiva, logo f'>0 (crescente).
  • Para -2: x(x+2)<0, f'<0 (decrescente).
  • Para -1: numerador ainda <0, denom. positiva, então f'<0 (decrescente).
  • Para x>0: numerador >0, denom. positiva, f'>0 (crescente).
    Isso mostra um máximo local em (-2,-4) e um mínimo local em (0,0).

Passo 7

Juntando tudo temos dois ramos:
  • No ramo x<-1: conforme xto-infty, f(x)to-infty aproximando-se da reta y=x-1; cresce até (-2,-4); depois decresce e f(x)to-infty quando xto-1^-.
  • No ramo x>-1: f(x)to+infty quando xto-1^+; decresce até (0,0); depois cresce para +infty aproximando-se de y=x-1.

Passo 8

Com domínio, intercepto, assíntotas e comportamento em cada intervalo está completo o esboço do gráfico.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^2x+1 tem domínio Rsetminus-1, intercepto em (0,0), assíntota vertical x=-1 e assíntota oblíqua y=x-1. Há um máximo local em (-2,-4) e um mínimo local em (0,0). A curva forma dois ramos: um para x<-1 que cresce até (-2,-4) e depois decresce para -infty em xto-1^-; e outro para x>-1 que desce de +infty em xto-1^+ até (0,0) e depois cresce para +infty.

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