Esboce o gráfico da função:
Passo 1
A função dada é
. Para esboçar seu gráfico vamos precisar: determinar o domínio, os interceptos com os eixos, as assíntotas (verticais e oblíquas), os pontos críticos (onde
) e o comportamento em cada intervalo para montar os dois ramos da curva.
Passo 2
O domínio de
é todos os
tais que o denominador
, ou seja,
. Os interceptos com os eixos são: intercepto em
em
:
então o ponto
. Para o intercepto em
basta resolver
que dá
, logo
, o mesmo ponto.
Passo 3
Para achar assíntotas verticais e oblíquas: a vertical ocorre em
. Para a oblíqua dividimos polinômios:
Isso mostra que, quando
Passo 4
Agora vamos aos pontos críticos usando derivada. Usando regra do quociente:
Passo 5
Os zeros de
são em
e
. Calculando valores:
Passo 6
Analisando o sinal de
:
- Para
: e denom. positiva, logo (crescente). - Para
: , (decrescente). - Para
: numerador ainda , denom. positiva, então (decrescente). - Para
: numerador , denom. positiva, (crescente).
Isso mostra um máximo local eme um mínimo local em .
Passo 7
Juntando tudo temos dois ramos:
- No ramo
: conforme , aproximando-se da reta ; cresce até ; depois decresce e quando . - No ramo
: quando ; decresce até ; depois cresce para aproximando-se de .
Passo 8
Com domínio, intercepto, assíntotas e comportamento em cada intervalo está completo o esboço do gráfico.
Resposta
O gráfico de
tem domínio
, intercepto em
, assíntota vertical
e assíntota oblíqua
. Há um máximo local em
e um mínimo local em
. A curva forma dois ramos: um para
que cresce até
e depois decresce para
em
; e outro para
que desce de
em
até
e depois cresce para
.