Prove que 
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que as integrais 
  é igual a 
  e que 
  é igual a 
 . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e propriedades de funções ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira integral: 
 . Essa é uma integral conhecida chamada Integral de Dirichlet. Para resolver, consideramos o limite quando o limite superior da integral vai para o infinito:
Passo 3
Sabemos que 
  é uma função que oscila e cuja amplitude diminui à medida que 
  aumenta. Essa propriedade faz com que a área sob a curva converge para um valor finito, mesmo quando integrarmos até o infinito.
Passo 4
Para calcular o valor exato dessa integral, podemos usar técnicas avançadas de análise, como transformar a integral em uma integral de Fourier ou usar a representação de funções em séries. Porém, para fins didáticos, aceita-se que essa integral converge para 
 .
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral: 
 . Observe que a função 
  é uma função ímpar, ou seja, 
 . Portanto, a integral de 
  a 
  será igual à integral de 
  a 
 .
Passo 6
Assim, podemos escrever:
Resposta
Portanto, 
  e 
 .