Prove a invariância do intervalo para referenciais arbitrários em movimento relativo, usando a métrica de Minkowski \eta_{\mu \nu} e a transformação de coordenadas x^{\mu}=\Lambda_{\nu}^{\mu} x^{\nu}, mostrando que \eta_{\mu \nu} d x^{\prime \mu} d x^{\prime \nu}=\eta_{\rho \sigma} d x^{\rho} d x^{\sigma}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o intervalo de Minkowski é invariante entre referenciais ligados por uma transformação linear x^{\mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}. Mais precisamente, devemos provar que
\eta_{\mu \nu}\, d x^{\prime \mu}\, d x^{\prime \nu} = \eta_{\rho \sigma}\, d x^{\rho}\, d x^{\sigma}.
Informações dadas e relevantes:
\eta_{\mu\nu} é a métrica de Minkowski (tensor constante, simétrico).
A transformação de coordenadas é linear e dada por x^{\mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}.
Queremos trabalhar com diferenciais d x^{\mu} e d x^{\prime \mu} (pequenos deslocamentos no espaço-tempo) e mostrar que o quadrado do intervalo (usando \eta) é o mesmo nos dois referenciais.

Passo 2

Explicando o que é o intervalo e a métrica de forma bem prática.
A métrica de Minkowski \eta_{\mu\nu} é uma matriz constante que permite calcular o intervalo quadrático entre dois eventos infinitesimalmente próximos através da expressão
\eta_{\rho\sigma}\, d x^{\rho}\, d x^{\sigma}.
Aqui cada letra grega como \rho,\sigma,\mu,\nu denota um índice que percorre as componentes do espaço-tempo (por exemplo 0,1,2,3). Pelo princípio da soma de Einstein, quando um índice aparece repetido (um acima e outro abaixo) significa somar sobre esse índice. Por exemplo \eta_{\rho\sigma}\, d x^{\rho}\, d x^{\sigma}=\sum_{\rho=0}^{3}\sum_{\sigma=0}^{3}\eta_{\rho\sigma} d x^{\rho} d x^{\sigma}.
A métrica é simétrica: \eta_{\mu\nu}=\eta_{\nu\mu}. Em notação matricial, \eta é uma matriz fixa.

Passo 3

Relacionando as coordenadas transformadas com as originais e passando para diferenciais.
Como a transformação é linear e dependente apenas de \Lambda (constante), ao diferenciar a relação x^{\prime \mu}=\Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu} obtemos diretamente
d x^{\prime \mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu}\, d x^{\nu}.
Aqui usei que os componentes \Lambda^{\mu}{}_{\nu} são constantes (independentes de x), então a diferencial entra apenas em d x^{\nu}.

Passo 4

Substituindo d x^{\prime \mu} na expressão do intervalo transformado.
Começamos com o intervalo no referencial primado:
\eta_{\mu\nu}\, d x^{\prime \mu}\, d x^{\prime \nu}.
Substituindo d x^{\prime \mu} = \Lambda^{\mu}{}_{\rho}\, d x^{\rho} e d x^{\prime \nu} = \Lambda^{\nu}{}_{\sigma}\, d x^{\sigma} temos
\eta_{\mu\nu}\, d x^{\prime \mu}\, d x^{\prime \nu} = \eta_{\mu\nu}\, \big(\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\, d x^{\rho}\big)\, \big(\Lambda^{\nu}{}_{\sigma}\, d x^{\sigma}\big).

Passo 5

Reorganizando somas e fatores usando propriedades da multiplicação escalar e da soma de Einstein.
Como tudo é somado indexadamente, podemos recolher os diferenciais d x^{\rho} e d x^{\sigma} para a direita:
\eta_{\mu\nu}\, d x^{\prime \mu}\, d x^{\prime \nu} = \big(\eta_{\mu\nu}\,\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\,\Lambda^{\nu}{}_{\sigma}\big)\, d x^{\rho}\, d x^{\sigma}.
Aqui o parêntese entre colchetes é um conjunto de coeficientes (dependendo de \Lambda e \eta) que multiplicam os diferenciais originais.

Passo 6

Usando a propriedade definidora das transformações de Lorentz.
Por definição, uma transformação \Lambda que preserva a estrutura métrica satisfaz, em notação matricial,
\Lambda^{T}\,\eta\,\Lambda = \eta.
Escrevendo isso em componentes, a igualdade matricial corresponde à identidade
\eta_{\mu\nu}\,\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\,\Lambda^{\nu}{}_{\sigma} = \eta_{\rho\sigma}.
(Explicação curta: o lado esquerdo é exatamente a componente (\Lambda^{T}\eta\Lambda)_{\rho\sigma}.)

Passo 7

Aplicando essa propriedade ao resultado do Passo 5.
Substituindo a identidade do Passo 6 em \big(\eta_{\mu\nu}\,\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\,\Lambda^{\nu}{}_{\sigma}\big) obtemos
\eta_{\mu\nu}\, d x^{\prime \mu}\, d x^{\prime \nu} = \eta_{\rho\sigma}\, d x^{\rho}\, d x^{\sigma}.
Ou seja, o fator entre parênteses se reduz exatamente à métrica original \eta_{\rho\sigma}, o que mostra que o intervalo é o mesmo nas duas bases.

Passo 8

Comentário didático e inverso (por que essa condição aparece).
O que fizemos acima é assumir que \Lambda preserva a métrica (a condição \Lambda^{T}\eta\Lambda=\eta) e então mostrar a invariância do intervalo. Inversamente, se para todo deslocamento d x vale \eta_{\mu\nu} d x^{\prime \mu} d x^{\prime \nu}=\eta_{\rho\sigma} d x^{\rho} d x^{\sigma}, então comparando coeficientes dos produtos d x^{\rho} d x^{\sigma} chega-se à mesma condição \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\Lambda^{\nu}{}_{\sigma}=\eta_{\rho\sigma}. Portanto preservar o intervalo e satisfazer \Lambda^{T}\eta\Lambda=\eta são a mesma exigência.

Resposta

\eta_{\mu \nu}\, d x^{\prime \mu}\, d x^{\prime \nu}=\eta_{\rho \sigma}\, d x^{\rho}\, d x^{\sigma}

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