Prove a invariância do intervalo para referenciais arbitrários em movimento relativo, usando a métrica de Minkowski
e a transformação de coordenadas
, mostrando que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o intervalo de Minkowski é invariante entre referenciais ligados por uma transformação linear
. Mais precisamente, devemos provar que
Informações dadas e relevantes:
é a métrica de Minkowski (tensor constante, simétrico).
A transformação de coordenadas é linear e dada por .
Queremos trabalhar com diferenciais e
(pequenos deslocamentos no espaço-tempo) e mostrar que o quadrado do intervalo (usando
) é o mesmo nos dois referenciais.
A transformação de coordenadas é linear e dada por
Queremos trabalhar com diferenciais
Passo 2
Explicando o que é o intervalo e a métrica de forma bem prática.
A métrica de Minkowski é uma matriz constante que permite calcular o intervalo quadrático entre dois eventos infinitesimalmente próximos através da expressão
A métrica de Minkowski
Aqui cada letra grega como
denota um índice que percorre as componentes do espaço-tempo (por exemplo
). Pelo princípio da soma de Einstein, quando um índice aparece repetido (um acima e outro abaixo) significa somar sobre esse índice. Por exemplo
.
A métrica é simétrica: . Em notação matricial,
é uma matriz fixa.
A métrica é simétrica:
Passo 3
Relacionando as coordenadas transformadas com as originais e passando para diferenciais.
Como a transformação é linear e dependente apenas de (constante), ao diferenciar a relação
obtemos diretamente
Como a transformação é linear e dependente apenas de
Aqui usei que os componentes
são constantes (independentes de
), então a diferencial entra apenas em
.
Passo 4
Substituindo
na expressão do intervalo transformado.
Começamos com o intervalo no referencial primado:
Começamos com o intervalo no referencial primado:
Substituindo
e
temos
Passo 5
Reorganizando somas e fatores usando propriedades da multiplicação escalar e da soma de Einstein.
Como tudo é somado indexadamente, podemos recolher os diferenciais e
para a direita:
Como tudo é somado indexadamente, podemos recolher os diferenciais
Aqui o parêntese entre colchetes é um conjunto de coeficientes (dependendo de
e
) que multiplicam os diferenciais originais.
Passo 6
Usando a propriedade definidora das transformações de Lorentz.
Por definição, uma transformação que preserva a estrutura métrica satisfaz, em notação matricial,
Por definição, uma transformação
Escrevendo isso em componentes, a igualdade matricial corresponde à identidade
(Explicação curta: o lado esquerdo é exatamente a componente
.)
Passo 7
Aplicando essa propriedade ao resultado do Passo 5.
Substituindo a identidade do Passo 6 em obtemos
Substituindo a identidade do Passo 6 em
Ou seja, o fator entre parênteses se reduz exatamente à métrica original
, o que mostra que o intervalo é o mesmo nas duas bases.
Passo 8
Comentário didático e inverso (por que essa condição aparece).
O que fizemos acima é assumir que preserva a métrica (a condição
) e então mostrar a invariância do intervalo. Inversamente, se para todo deslocamento
vale
, então comparando coeficientes dos produtos
chega-se à mesma condição
. Portanto preservar o intervalo e satisfazer
são a mesma exigência.
O que fizemos acima é assumir que