Prove que se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty e f(x) \leq g(x) em alguma vizinhança suprimida de x=a então: \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\infty.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g definidas numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) tais que
  1. \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty.
  2. Em alguma vizinhança suprimida de a, isto é, para todo x com 0<|x-a|<\delta_0, vale
f(x)\le g(x).
Queremos provar que
\lim_{x\to a}g(x)=\infty.
O conteúdo usado será a definição de limite que diverge para +\infty e o fato de que uma função maior que outra herda o mesmo comportamento de crescimento.

Passo 2

Pela definição de \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty temos:
\forall M>0,\;\exists \delta>0\text{ tal que }0<|x-a|<\delta\implies f(x)>M.

Passo 3

Escolhido um M>0, pela definição acima existe \delta>0 tal que
0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad f(x)>M.
Mas, na mesma vizinhança (tal que 0<|x-a|<\min\{\delta,\delta_0\}), sabemos que f(x)\le g(x). Logo, sempre que 0<|x-a|<\min\{\delta,\delta_0\} temos
g(x)\ge f(x)>M.

Passo 4

Como para todo M>0 encontramos um raio \delta'=\min\{\delta,\delta_0\} que garante g(x)>M sempre que 0<|x-a|<\delta', concluímos pela definição que
\lim_{x\to a}g(x)=\infty.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\infty.

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