Prove que se \mathcal{A}, \mathcal{B} e \mathcal{C} são matrizes 3 \times 3, então (\mathcal{A B}) \mathcal{C}=\mathcal{A}(\mathcal{B C}), \mathcal{A}(\mathcal{B}+ \mathcal{C})=\mathcal{A} \mathcal{B}+\mathcal{A} \mathcal{C} e (\mathcal{A}+\mathcal{B}) \mathcal{C}=\mathcal{A} \mathcal{C}+\mathcal{B} \mathcal{C}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (listei tudo explicitamente):
  • São dadas três matrizes quadradas 3\times3: \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}.
  • O enunciado pede que se provem três identidades de matrizes:
    1. (\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}(\mathcal{B}\mathcal{C}) (associatividade do produto);
    2. \mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})=\mathcal{A}\mathcal{B}+\mathcal{A}\mathcal{C} (distributividade à esquerda);
    3. (\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}\mathcal{C}+\mathcal{B}\mathcal{C} (distributividade à direita).

Passo 2

Definições e notação — deixar tudo bem explícito antes de manipular:
  • Escrevo as entradas das matrizes com letras: \mathcal{A}=(a_{ij}), \mathcal{B}=(b_{ij}), \mathcal{C}=(c_{ij}), onde os índices i,j variam em \{1,2,3\}.
  • Definição de soma de matrizes (elemento a elemento):
(\mathcal{B}+\mathcal{C})_{jk}=b_{jk}+c_{jk}.
  • Definição de produto de matrizes (produto convencional, linha por coluna): para quaisquer matrizes 3\times3,
(\mathcal{A}\mathcal{B})_{ik}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij} b_{jk}.
Estas são as fórmulas que vou usar em todos os cálculos. Observação: somas finitas e multiplicações são realizadas no corpo (por exemplo, \mathbb{R}); para somas finitas pode-se reordenar e reagrupar termos usando as leis usuais da aritmética.

Passo 3

Prova da associatividade (\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}(\mathcal{B}\mathcal{C}) por igualdade termo a termo:
  • Calculo uma entrada arbitrária do lado esquerdo; escolho índices i,\ell\in\{1,2,3\}:
\big((\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}\big)_{i\ell} = \sum_{k=1}^{3} (\mathcal{A}\mathcal{B})_{ik}\, c_{k\ell}.
  • Substituo a definição de (\mathcal{A}\mathcal{B})_{ik}:
\big((\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}\big)_{i\ell} = \sum_{k=1}^{3} \left( \sum_{j=1}^{3} a_{ij} b_{jk} \right) c_{k\ell}.
  • Agora uso que somas e produtos escalares podem ser reagrupados (associatividade e comutatividade da soma e da multiplicação em \mathbb{R}) para trocar a ordem das somas:
\sum_{k=1}^{3} \left( \sum_{j=1}^{3} a_{ij} b_{jk} \right) c_{k\ell} = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} \left( \sum_{k=1}^{3} b_{jk} c_{k\ell} \right).
  • O termo à direita é exatamente a definição da entrada i\ell da matriz \mathcal{A}(\mathcal{B}\mathcal{C}):
\sum_{j=1}^{3} a_{ij} \left( \sum_{k=1}^{3} b_{jk} c_{k\ell} \right) = \big(\mathcal{A}(\mathcal{B}\mathcal{C})\big)_{i\ell}.
  • Como isto vale para todo par de índices i,\ell, todas as entradas das duas matrizes coincidem, logo
(\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}(\mathcal{B}\mathcal{C}).
Comentário curto e prático: a etapa crucial foi reescrever a soma dupla \sum_{k}\sum_{j} a_{ij} b_{jk} c_{k\ell} como \sum_{j}\sum_{k} a_{ij} b_{jk} c_{k\ell}, o que é permitido porque são somas finitas de números.

Passo 4

Prova da distributividade à esquerda \mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})=\mathcal{A}\mathcal{B}+\mathcal{A}\mathcal{C}:
  • Tomo uma entrada arbitrária i,k:
\big(\mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})\big)_{ik} = \sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,(\mathcal{B}+\mathcal{C})_{jk}.
  • Substituo (\mathcal{B}+\mathcal{C})_{jk}=b_{jk}+c_{jk}:
\big(\mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})\big)_{ik} = \sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,(b_{jk}+c_{jk}).
  • Distribuo a_{ij} na soma (distributividade usual em \mathbb{R}) e separo as somas:
\sum_{j=1}^{3} \big(a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk}\big) = \sum_{j=1}^{3} a_{ij}b_{jk} + \sum_{j=1}^{3} a_{ij}c_{jk}.
  • Reconheço as duas somas como entradas de \mathcal{A}\mathcal{B} e \mathcal{A}\mathcal{C}:
\sum_{j=1}^{3} a_{ij}b_{jk} = (\mathcal{A}\mathcal{B})_{ik},\qquad \sum_{j=1}^{3} a_{ij}c_{jk} = (\mathcal{A}\mathcal{C})_{ik}.
  • Portanto
\big(\mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})\big)_{ik} = (\mathcal{A}\mathcal{B})_{ik} + (\mathcal{A}\mathcal{C})_{ik}.
  • Como vale para todo i,k, obtemos a igualdade de matrizes:
\mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})=\mathcal{A}\mathcal{B}+\mathcal{A}\mathcal{C}.

Passo 5

Prova da distributividade à direita (\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}\mathcal{C}+\mathcal{B}\mathcal{C}:
  • Para uma entrada i,k qualquer:
\big((\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}\big)_{ik} = \sum_{j=1}^{3} (\mathcal{A}+\mathcal{B})_{ij}\, c_{jk}.
  • Substituo (\mathcal{A}+\mathcal{B})_{ij}=a_{ij}+b_{ij}:
\big((\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}\big)_{ik} = \sum_{j=1}^{3} (a_{ij}+b_{ij}) c_{jk}.
  • Distribuo e separo as somas:
\sum_{j=1}^{3} (a_{ij}c_{jk}+b_{ij}c_{jk}) = \sum_{j=1}^{3} a_{ij}c_{jk} + \sum_{j=1}^{3} b_{ij}c_{jk}.
  • Reconheço as somas como entradas de \mathcal{A}\mathcal{C} e \mathcal{B}\mathcal{C}:
\big((\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}\big)_{ik} = (\mathcal{A}\mathcal{C})_{ik} + (\mathcal{B}\mathcal{C})_{ik}.
  • Como isto vale para todos os índices, conclui-se que
(\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}\mathcal{C}+\mathcal{B}\mathcal{C}.

Passo 6

Comentário final de consolidação (motivações e dica para prova):
  • Todas as três propriedades foram provadas mostrando que cada entrada correspondente dos dois lados coincide. Esse é o procedimento padrão: provar igualdade de matrizes mostrando igualdade de entradas para índices arbitrários.
  • O truque comum é substituir as definições (soma elemento a elemento e produto linha-por-coluna) e usar propriedades básicas de soma e produto em \mathbb{R} para reagrupar termos.
  • Nota prática para a prova: não é necessário escrever todos os índices 1,2,3 separadamente — basta indicar índices genéricos i,j,k\in\{1,2,3\} e mostrar a igualdade da forma que fiz acima; isso é aceitável e elegante.

Resposta

(\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}(\mathcal{B}\mathcal{C})
\mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})=\mathcal{A}\mathcal{B}+\mathcal{A}\mathcal{C}
(\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}\mathcal{C}+\mathcal{B}\mathcal{C}

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