Prove que se
e
são matrizes
, então
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (listei tudo explicitamente):
- São dadas três matrizes quadradas
: . - O enunciado pede que se provem três identidades de matrizes:
-
(associatividade do produto); -
(distributividade à esquerda); -
(distributividade à direita).
-
Passo 2
Definições e notação — deixar tudo bem explícito antes de manipular:
- Escrevo as entradas das matrizes com letras:
, , , onde os índices variam em . - Definição de soma de matrizes (elemento a elemento):
- Definição de produto de matrizes (produto convencional, linha por coluna): para quaisquer matrizes
,
Estas são as fórmulas que vou usar em todos os cálculos. Observação: somas finitas e multiplicações são realizadas no corpo (por exemplo,
); para somas finitas pode-se reordenar e reagrupar termos usando as leis usuais da aritmética.
Passo 3
Prova da associatividade
por igualdade termo a termo:
- Calculo uma entrada arbitrária do lado esquerdo; escolho índices
:
- Substituo a definição de
:
- Agora uso que somas e produtos escalares podem ser reagrupados (associatividade e comutatividade da soma e da multiplicação em
) para trocar a ordem das somas:
- O termo à direita é exatamente a definição da entrada
da matriz :
- Como isto vale para todo par de índices
, todas as entradas das duas matrizes coincidem, logo
Comentário curto e prático: a etapa crucial foi reescrever a soma dupla
como
, o que é permitido porque são somas finitas de números.
Passo 4
Prova da distributividade à esquerda
:
- Tomo uma entrada arbitrária
:
- Substituo
:
- Distribuo
na soma (distributividade usual em ) e separo as somas:
- Reconheço as duas somas como entradas de
e :
- Portanto
- Como vale para todo
, obtemos a igualdade de matrizes:
Passo 5
Prova da distributividade à direita
:
- Para uma entrada
qualquer:
- Substituo
:
- Distribuo e separo as somas:
- Reconheço as somas como entradas de
e :
- Como isto vale para todos os índices, conclui-se que
Passo 6
Comentário final de consolidação (motivações e dica para prova):
- Todas as três propriedades foram provadas mostrando que cada entrada correspondente dos dois lados coincide. Esse é o procedimento padrão: provar igualdade de matrizes mostrando igualdade de entradas para índices arbitrários.
- O truque comum é substituir as definições (soma elemento a elemento e produto linha-por-coluna) e usar propriedades básicas de soma e produto em
para reagrupar termos. - Nota prática para a prova: não é necessário escrever todos os índices 1,2,3 separadamente — basta indicar índices genéricos
e mostrar a igualdade da forma que fiz acima; isso é aceitável e elegante.