Sejam
e
duas matrizes
. Prove que
e conclua que se
é invertível, então
é invertível e
.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
de ordem
. As perguntas são:
- Provar a igualdade
. - Concluir que, se
é invertível, então é invertível e .
Informações relevantes dadas:
-
e são matrizes (ou seja, têm entradas indexadas por ). - Não foi dada nenhuma outra condição (por exemplo, sobre invertibilidade) além daquela que aparece na segunda parte da questão.
Passo 2
Vamos introduzir notação por entradas para ficar tudo explícito (isso é importante para uma demonstração elementar e “à prova de prova”). Denotemos as entradas de
e
por
onde
e
são escalares (números) e
. A ideia será comparar as entradas de
e de
e mostrar que são iguais para todo
.
Passo 3
Lembrete (definição do transposto): a transposta de
é a matriz
cujas entradas são dadas por
Isto significa que a transposta troca linhas por colunas: o elemento na linha
, coluna
de
é justamente o elemento na linha
, coluna
de
.
Passo 4
Lembrete (definição do produto de matrizes): o produto
tem entradas
isto é, para obter a entrada na linha
, coluna
multiplica-se a linha
de
pela coluna
de
e soma-se sobre
.
Passo 5
Calcule agora a entrada genérica de
. Usando a definição do transposto,
Aplicando a fórmula do produto,
Portanto
Passo 6
Agora calcule a entrada genérica de
. Usando as definições,
Pelo fato de
e
, obtemos
Passo 7
Compare as duas expressões obtidas para a entrada
:
Como
e
são números (escalares) e a multiplicação de escalares é comutativa, cada termo
coincide com
. Logo os somatórios são idênticos e, portanto, para todo
,
Como todas as entradas coincidem, as matrizes são iguais:
(Isto vale não só para
mas para matrizes de dimensões compatíveis de forma geral.)
Passo 8
Agora a parte sobre inversas. Suponha que
é invertível, isto é, exista
tal que
onde
é a matriz identidade
. Tome a transposta da igualdade
. Usando a propriedade provada no Passo 7 e o fato de
, obtemos
De maneira análoga, transpondo
dá
Portanto
é tanto a inversa à direita quanto à esquerda de
, o que implica que
é invertível e
Passo 9
Resumo rápido e motivador: a prova principal se resume a comparar entradas usando as definições de produto e transposição; não há passos “mágicos”, só cuidado com índices. Se você decorar a identidade
, a segunda consequência sobre inversas vem num instante aplicando transposição a
.