Sejam \mathcal{A} e \mathcal{B} duas matrizes 3 \times 3. Prove que (\mathcal{A} \mathcal{B})^{T}=\mathcal{B}^{T} \mathcal{A}^{T} e conclua que se \mathcal{A} é invertível, então \mathcal{A}^{T} é invertível e \left(\mathcal{A}^{T}\right)^{-1}=\left(\mathcal{A}^{-1}\right)^{T}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes \mathcal{A} e \mathcal{B} de ordem 3\times3. As perguntas são:
  • Provar a igualdade \,(\mathcal{A}\mathcal{B})^{T}=\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T}.
  • Concluir que, se \mathcal{A} é invertível, então \mathcal{A}^{T} é invertível e \left(\mathcal{A}^{T}\right)^{-1}=\left(\mathcal{A}^{-1}\right)^{T}.
Informações relevantes dadas:
  • \mathcal{A} e \mathcal{B} são matrizes 3\times3 (ou seja, têm entradas indexadas por i,j\in\{1,2,3\}).
  • Não foi dada nenhuma outra condição (por exemplo, sobre invertibilidade) além daquela que aparece na segunda parte da questão.

Passo 2

Vamos introduzir notação por entradas para ficar tudo explícito (isso é importante para uma demonstração elementar e “à prova de prova”). Denotemos as entradas de \mathcal{A} e \mathcal{B} por
\mathcal{A} = (a_{ij}),\qquad \mathcal{B} = (b_{ij}),
onde a_{ij} e b_{ij} são escalares (números) e i,j\in\{1,2,3\}. A ideia será comparar as entradas de (\mathcal{A}\mathcal{B})^{T} e de \mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T} e mostrar que são iguais para todo i,j.

Passo 3

Lembrete (definição do transposto): a transposta de \mathcal{A}=(a_{ij}) é a matriz \mathcal{A}^{T} cujas entradas são dadas por
(\mathcal{A}^{T})_{ij}=a_{ji}.
Isto significa que a transposta troca linhas por colunas: o elemento na linha i, coluna j de \mathcal{A}^{T} é justamente o elemento na linha j, coluna i de \mathcal{A}.

Passo 4

Lembrete (definição do produto de matrizes): o produto \mathcal{A}\mathcal{B} tem entradas
(\mathcal{A}\mathcal{B})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj},
isto é, para obter a entrada na linha i, coluna j multiplica-se a linha i de \mathcal{A} pela coluna j de \mathcal{B} e soma-se sobre k.

Passo 5

Calcule agora a entrada genérica de (\mathcal{A}\mathcal{B})^{T}. Usando a definição do transposto,
\big((\mathcal{A}\mathcal{B})^{T}\big)_{ij} = (\mathcal{A}\mathcal{B})_{ji}.
Aplicando a fórmula do produto,
(\mathcal{A}\mathcal{B})_{ji} = \sum_{k=1}^{3} a_{jk}\, b_{ki}.
Portanto
\big((\mathcal{A}\mathcal{B})^{T}\big)_{ij} = \sum_{k=1}^{3} a_{jk}\, b_{ki}.

Passo 6

Agora calcule a entrada genérica de \mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T}. Usando as definições,
\big(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T}\big)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} (\mathcal{B}^{T})_{ik}\,(\mathcal{A}^{T})_{kj}.
Pelo fato de (\mathcal{B}^{T})_{ik}=b_{ki} e (\mathcal{A}^{T})_{kj}=a_{jk}, obtemos
\big(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T}\big)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} b_{ki}\, a_{jk}.

Passo 7

Compare as duas expressões obtidas para a entrada (i,j):
\big((\mathcal{A}\mathcal{B})^{T}\big)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{jk}\, b_{ki} \qquad\text{e}\qquad \big(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T}\big)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} b_{ki}\, a_{jk}.
Como a_{jk} e b_{ki} são números (escalares) e a multiplicação de escalares é comutativa, cada termo a_{jk}\,b_{ki} coincide com b_{ki}\,a_{jk}. Logo os somatórios são idênticos e, portanto, para todo i,j,
\big((\mathcal{A}\mathcal{B})^{T}\big)_{ij}=\big(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T}\big)_{ij}.
Como todas as entradas coincidem, as matrizes são iguais:
(\mathcal{A}\mathcal{B})^{T}=\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T}.
(Isto vale não só para 3\times3 mas para matrizes de dimensões compatíveis de forma geral.)

Passo 8

Agora a parte sobre inversas. Suponha que \mathcal{A} é invertível, isto é, exista \mathcal{A}^{-1} tal que
\mathcal{A}\,\mathcal{A}^{-1}=I\qquad\text{e}\qquad \mathcal{A}^{-1}\,\mathcal{A}=I,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Tome a transposta da igualdade \mathcal{A}\,\mathcal{A}^{-1}=I. Usando a propriedade provada no Passo 7 e o fato de I^{T}=I, obtemos
\big(\mathcal{A}\,\mathcal{A}^{-1}\big)^{T} = I^{T} \qquad\Rightarrow\qquad (\mathcal{A}^{-1})^{T}\,\mathcal{A}^{T}=I.
De maneira análoga, transpondo \mathcal{A}^{-1}\,\mathcal{A}=I
\big(\mathcal{A}^{-1}\,\mathcal{A}\big)^{T}=I^{T} \qquad\Rightarrow\qquad \mathcal{A}^{T}\,(\mathcal{A}^{-1})^{T}=I.
Portanto (\mathcal{A}^{-1})^{T} é tanto a inversa à direita quanto à esquerda de \mathcal{A}^{T}, o que implica que \mathcal{A}^{T} é invertível e
\left(\mathcal{A}^{T}\right)^{-1}=(\mathcal{A}^{-1})^{T}.

Passo 9

Resumo rápido e motivador: a prova principal se resume a comparar entradas usando as definições de produto e transposição; não há passos “mágicos”, só cuidado com índices. Se você decorar a identidade (AB)^T=B^T A^T, a segunda consequência sobre inversas vem num instante aplicando transposição a \,A A^{-1}=I.

Resposta

(\mathcal{A}\mathcal{B})^{T}=\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}^{T}
\left(\mathcal{A}^{T}\right)^{-1}=\left(\mathcal{A}^{-1}\right)^{T}

Exercícios relacionados