Prove que a matriz identidade I_{n} n \times n é invertível e que I_{n}{ }^{-1}=I_{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz identidade de ordem n, denotada por I_n, é invertível e que a sua inversa é ela própria, ou seja,
I_n^{-1} = I_n.
O conteúdo envolvido é a definição de matriz invertível e a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Por definição, uma matriz quadrada A\in\mathbb{R}^{n\times n} é invertível se existe uma matriz B\in\mathbb{R}^{n\times n} tal que
AB = I_n \quad\text{e}\quad BA = I_n.
Para A = I_n, vamos escolher como candidata à inversa justamente B = I_n.

Passo 3

Basta verificar que I_n multiplicada por I_n I_n. Pelo cálculo de cada entrada,
(I_n I_n)_{ij} = \sum_{k=1}^{n}(I_n)_{ik}\,(I_n)_{kj} = \sum_{k=1}^{n}\delta_{ik}\,\delta_{kj} = \delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Logo
I_n I_n = I_n.
O mesmo cálculo vale para I_n à esquerda, então
I_n I_n = I_n \quad\text{e}\quad I_n I_n = I_n
mostrando que I_n é inversível com inversa I_n.

Resposta

I_n^{-1} = I_n.

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