(a) Dê um contra-exemplo para mostrar que, em geral,
.
(b) Sob que condições em
e
é verdade que
? Prove sua resposta.
(b) Sob que condições em
Passo 1
O enunciado trata da inversão de produto de matrizes: em geral não vale que
O conteúdo aqui é a propriedade de inverso de produto e a condição de comutatividade. Vamos primeiro dar um contra-exemplo e depois achar quando a fórmula vale.
Passo 2
Escolhemos duas matrizes invertíveis que não comutam, por exemplo
Calculamos
Então
mas
Como
, vemos que
Isso mostra o contra-exemplo.
Passo 3
Para que
seja verdade precisamos ter
isto é,
e
devem comutar. Mas
é equivalente a
, pois ao inverter ambos os lados obtém-se
Agora, se
e
comutam então
e de modo semelhante
. Logo
é realmente o inverso de
.
Resposta
(a) Por exemplo
são invertíveis, mas
(b) A condição necessária e suficiente é que e
comutem (
). Nesse caso
(b) A condição necessária e suficiente é que