(a) Dê um contra-exemplo para mostrar que, em geral, (A B)^{-1} \neq A^{-1} B^{-1}.
(b) Sob que condições em A e B é verdade que (A B)^{-1}=A^{-1} B^{-1} ? Prove sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata da inversão de produto de matrizes: em geral não vale que
(A B)^{-1}=A^{-1}B^{-1}.
O conteúdo aqui é a propriedade de inverso de produto e a condição de comutatividade. Vamos primeiro dar um contra-exemplo e depois achar quando a fórmula vale.

Passo 2

Escolhemos duas matrizes invertíveis que não comutam, por exemplo
A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Calculamos
A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix}.
Então
A^{-1}B^{-1} =\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&-1\\\ -1&1\end{pmatrix},
mas
B^{-1}A^{-1} =\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&-1\\\ -1&2\end{pmatrix}.
Como (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, vemos que
(AB)^{-1}\;=\;\begin{pmatrix}1&-1\\\ -1&2\end{pmatrix} \;\neq\; \begin{pmatrix}2&-1\\\ -1&1\end{pmatrix} \;=\;A^{-1}B^{-1}.
Isso mostra o contra-exemplo.

Passo 3

Para que (AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1} seja verdade precisamos ter
A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1},
isto é, A^{-1} e B^{-1} devem comutar. Mas A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1} é equivalente a AB=BA, pois ao inverter ambos os lados obtém-se
( A^{-1}B^{-1} )^{-1} = ( B^{-1}A^{-1} )^{-1} \quad\Longrightarrow\quad BA = AB.
Agora, se A e B comutam então
(AB)(A^{-1}B^{-1}) = A\,(B\,A^{-1})\,B^{-1} = A\,(A^{-1}B)\,B^{-1} = (A\,A^{-1})\,(B\,B^{-1}) = I,
e de modo semelhante (A^{-1}B^{-1})(AB)=I. Logo A^{-1}B^{-1} é realmente o inverso de AB.

Resposta

(a) Por exemplo
A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}, \; B=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}
são invertíveis, mas (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\neq A^{-1}B^{-1}.
(b) A condição necessária e suficiente é que A e B comutem ( AB=BA). Nesse caso
(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}.

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