Prove que 3 \mid\left(2^{2 n}-1\right).
(Dica: use indução sobre n).

Passo 1

O enunciado pede para provar que 3 divide \,2^{2n}-1.\n
Informações dadas:
  • A expressão a ser investigada é \,2^{2n}-1.
  • A variável n é um número natural (assumir n\ge 1).
  • A afirmação a provar é: 3 \mid \left(2^{2n}-1\right), ou seja, \exists inteiro q tal que 2^{2n}-1=3q.

Passo 2

Explicação do método de indução (passo a passo, didático e sem pular etapas).
  • Indução matemática funciona em duas etapas principais:
    1. Base da indução: provar que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor (geralmente n=1).
    2. Passo indutivo: assumir que a afirmação vale para um n=k arbitrário (hipótese de indução) e provar que então ela vale para n=k+1.
      Se esses dois passos são cumpridos, conclui-se que a afirmação vale para todo n\in\mathbb{N}.
  • Explicação do que significa 3\mid(2^{2n}-1): quer dizer que existe um número inteiro m tal que \,2^{2n}-1=3m. Sempre que encontrarmos uma expressão igual a 3 vezes um inteiro, mostramos a divisibilidade.

Passo 3

Base da indução ( n=1).
  • Calcular \,2^{2\cdot 1}-1:
2^{2\cdot 1}-1=2^{2}-1=4-1=3.
  • Como 3=3\cdot 1, existe um inteiro ( 1) que multiplica 3 e dá a expressão. Logo,
3 \mid \left(2^{2\cdot 1}-1\right).
  • Portanto a base da indução está verificada.

Passo 4

Hipótese de indução.
  • Suponha que para um k\in\mathbb{N} a afirmação seja verdadeira, isto é, suponha que exista m\in\mathbb{Z} tal que
2^{2k}-1=3m.
  • Esta suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar o caso n=k+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a propriedade vale para n=k+1.
  • Começamos com a expressão para n=k+1:
2^{2(k+1)}-1=2^{2k+2}-1.
  • Fazer uma manipulação algébrica que permita usar a hipótese de indução:
2^{2k+2}-1=4\cdot 2^{2k}-1.
  • Agora escrevemos 4\cdot 2^{2k}-1 de forma a separar um múltiplo de (2^{2k}-1):
4\cdot 2^{2k}-1 = 4\bigl(2^{2k}-1\bigr) + 4\cdot 1 -1 = 4\bigl(2^{2k}-1\bigr) +3.
  • Pela hipótese de indução temos 2^{2k}-1=3m. Substituindo:
4\bigl(2^{2k}-1\bigr) +3 = 4\cdot(3m) + 3 = 12m + 3.
  • Fatorando 3:
12m+3 = 3(4m+1).
  • Como 4m+1 é um número inteiro, isso mostra que 2^{2(k+1)}-1 é igual a 3 vezes um inteiro. Logo
3 \mid \left(2^{2(k+1)}-1\right).

Passo 6

Conclusão por indução.
  • Mostramos a base ( n=1) e provamos que se a propriedade vale para n=k então vale para n=k+1. Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.
  • Comentário adicional (intuição rápida): em aritmética modular, 2\equiv -1\pmod{3}, então 2^{2n}\equiv (-1)^{2n}\equiv 1\pmod{3}, e assim 2^{2n}-1\equiv 0\pmod{3}. Isso confirma o resultado obtido por indução.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 3 \mid \left(2^{2n}-1\right).

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