Prove que
.
(Dica: use indução sobre n).
(Dica: use indução sobre n).
Passo 1
O enunciado pede para provar que
divide
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a ser investigada é
. - A variável
é um número natural (assumir ). - A afirmação a provar é:
, ou seja, inteiro tal que .
Passo 2
Explicação do método de indução (passo a passo, didático e sem pular etapas).
- Indução matemática funciona em duas etapas principais:
- Base da indução: provar que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor (geralmente
). - Passo indutivo: assumir que a afirmação vale para um
arbitrário (hipótese de indução) e provar que então ela vale para .
Se esses dois passos são cumpridos, conclui-se que a afirmação vale para todo.
- Base da indução: provar que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor (geralmente
- Explicação do que significa
: quer dizer que existe um número inteiro tal que . Sempre que encontrarmos uma expressão igual a vezes um inteiro, mostramos a divisibilidade.
Passo 3
Base da indução (
).
- Calcular
:
- Como
, existe um inteiro ( ) que multiplica e dá a expressão. Logo,
- Portanto a base da indução está verificada.
Passo 4
Hipótese de indução.
- Suponha que para um
a afirmação seja verdadeira, isto é, suponha que exista tal que
- Esta suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a propriedade vale para
.
- Começamos com a expressão para
:
- Fazer uma manipulação algébrica que permita usar a hipótese de indução:
- Agora escrevemos
de forma a separar um múltiplo de :
- Pela hipótese de indução temos
. Substituindo:
- Fatorando
:
- Como
é um número inteiro, isso mostra que é igual a vezes um inteiro. Logo
Passo 6
Conclusão por indução.
- Mostramos a base (
) e provamos que se a propriedade vale para então vale para . Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo . - Comentário adicional (intuição rápida): em aritmética modular,
, então , e assim . Isso confirma o resultado obtido por indução.
Resposta
Para todo
,
.