Para quais valores de n \in \mathbb{N} a desigualdade 2^{n}>n^{2} não se verifica?

Passo 1

O problema pede: determinar para quais valores de n\in\mathbb{N} a desigualdade 2^{n}>n^{2} não se verifica. Ou seja, encontrar os n\in\mathbb{N} tais que
2^{n}\le n^{2}.
Assumo aqui a convenção \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}. Informações que temos do enunciado:
  • A expressão a comparar é 2^{n} (uma potência de base 2) e n^{2} (um polinômio de grau 2).
  • Queremos os n naturais que fazem a desigualdade 2^{n}>n^{2} falhar, ou seja, onde vale 2^{n}\le n^{2}.

Passo 2

Estratégia inicial prática (teste direto nos primeiros naturais): calcular explicitamente 2^{n} e n^{2} para os primeiros valores de n pequenos e ver onde a desigualdade falha. Isso é comum porque muitas vezes desigualdades entre exponenciais e polinômios só falham para poucos valores pequenos; para n grandes a exponencial tende a dominar.
Calculemos:
\begin{aligned} n=1:&\quad 2^{1}=2,\quad 1^{2}=1,\quad 2^{1}>1^{2}.\\\ n=2:&\quad 2^{2}=4,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{2}=2^{2}\\ \text{(igualdade)}.\\\ n=3:&\quad 2^{3}=8,\quad 3^{2}=9,\quad 2^{3}<3^{2}.\\\ n=4:&\quad 2^{4}=16,\quad 4^{2}=16,\quad 2^{4}=4^{2}\\ \text{(igualdade)}.\\\ n=5:&\quad 2^{5}=32,\quad 5^{2}=25,\quad 2^{5}>5^{2}. \end{aligned}
Conclusão provisória a partir dos testes: para n=2,3,4 a desigualdade 2^{n}>n^{2} não se verifica (pois em n=2 e n=4 há igualdade e em n=3 a potência é menor). Para n=1 e n=5 a desigualdade se verifica. Agora precisamos provar que, a partir de certo ponto, a desigualdade passa a valer para todos os n seguintes (ou seja, mostrar que não há mais contraexemplos para n\ge 5).

Passo 3

Queremos mostrar que para todo n\ge 5 vale 2^{n}>n^{2}. Uma maneira elegante é estudar a sequência
a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{2}},
e mostrar que a_{n} é crescente a partir de um índice pequeno (assim, se a_{4}=1 e a sequência cresce depois, então a_{n}>1 para n\ge 5, o que equivale a 2^{n}>n^{2}).

Passo 4

Calculemos a razão entre termos consecutivos a_{n+1} e a_{n}:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}/(n+1)^{2}}{2^{n}/n^{2}}=2\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}.
Queremos saber para quais n essa razão é maior que 1 (isso garante que a_{n+1}>a_{n}, ou seja, crescimento).
Resolva a desigualdade
2\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}>1.
Equivalente a
2n^{2}>(n+1)^{2}.
Desenvolvendo o quadrado:
2n^{2}>n^{2}+2n+1.
Subtraindo n^{2}+2n+1 de ambos os lados:
n^{2}-2n-1>0.
Isto é uma inequação quadrática. As raízes da equação n^{2}-2n-1=0 são
n=1\pm\sqrt{2}.
Portanto n^{2}-2n-1>0 quando n>1+\sqrt{2} ou n<1-\sqrt{2}. Como n é natural, a condição útil é
n\ge 3
porque 1+\sqrt{2}\approx 2,414 e o menor inteiro maior que isso é 3. Assim, para todo n\ge 3 vale
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1,
ou seja, a_{n} é estritamente crescente para n\ge 3.

Passo 5

Usando o crescimento de a_{n} a partir de n=3: temos os valores já calculados
a_{3}=\frac{2^{3}}{3^{2}}=\frac{8}{9}<1,\qquad a_{4}=\frac{2^{4}}{4^{2}}=\frac{16}{16}=1.
Como a_{n} é crescente para n\ge 3 e a_{4}=1, então para todo n\ge 5 tem-se a_{n}>1. Em termos originais:
\text{Para todo }n\ge 5\text{ vale } \frac{2^{n}}{n^{2}}>1\quad\Longrightarrow\quad 2^{n}>n^{2}.
Isso prova que não existem novos contraexemplos com n\ge 5.

Passo 6

Juntando o teste dos primeiros n (Passo 2) com a prova de que para n\ge 5 a desigualdade sempre vale (Passo 5), concluímos que os únicos n\in\mathbb{N} para os quais 2^{n}>n^{2} não se verifica são exatamente
n=2,\quad n=3,\quad n=4.

Resposta

2
3
4

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