Para quais valores de
a desigualdade
não se verifica?
Passo 1
O problema pede: determinar para quais valores de
a desigualdade
não se verifica. Ou seja, encontrar os
tais que
Assumo aqui a convenção
. Informações que temos do enunciado:
- A expressão a comparar é
(uma potência de base ) e (um polinômio de grau ). - Queremos os
naturais que fazem a desigualdade falhar, ou seja, onde vale .
Passo 2
Estratégia inicial prática (teste direto nos primeiros naturais): calcular explicitamente
e
para os primeiros valores de
pequenos e ver onde a desigualdade falha. Isso é comum porque muitas vezes desigualdades entre exponenciais e polinômios só falham para poucos valores pequenos; para
grandes a exponencial tende a dominar.
Calculemos:
Conclusão provisória a partir dos testes: para
a desigualdade
não se verifica (pois em
e
há igualdade e em
a potência é menor). Para
e
a desigualdade se verifica. Agora precisamos provar que, a partir de certo ponto, a desigualdade passa a valer para todos os
seguintes (ou seja, mostrar que não há mais contraexemplos para
).
Passo 3
Queremos mostrar que para todo
vale
. Uma maneira elegante é estudar a sequência
e mostrar que
é crescente a partir de um índice pequeno (assim, se
e a sequência cresce depois, então
para
, o que equivale a
).
Passo 4
Calculemos a razão entre termos consecutivos
e
:
Queremos saber para quais
essa razão é maior que
(isso garante que
, ou seja, crescimento).
Resolva a desigualdade
Equivalente a
Desenvolvendo o quadrado:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isto é uma inequação quadrática. As raízes da equação
são
Portanto
quando
ou
. Como
é natural, a condição útil é
porque
e o menor inteiro maior que isso é
. Assim, para todo
vale
ou seja,
é estritamente crescente para
.
Passo 5
Usando o crescimento de
a partir de
: temos os valores já calculados
Como
é crescente para
e
, então para todo
tem-se
. Em termos originais:
Isso prova que não existem novos contraexemplos com
.
Passo 6
Juntando o teste dos primeiros
(Passo 2) com a prova de que para
a desigualdade sempre vale (Passo 5), concluímos que os únicos
para os quais
não se verifica são exatamente