Prove que m>n>0 Rightarrow m-1m>n-1n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que, se , então . Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades das frações para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa m-1m = 1 - 1m e n-1n = 1 - 1n . Essas frações podem ser simplificadas:
1 - 1m > 1 - 1n
Então, a desigualdade que precisamos provar fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a desigualdade retirando o 1 de ambos os lados:
- 1m > - 1n
Lembre-se que quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por -1 para eliminar os sinais negativos, a desigualdade fica:
1m < 1n
Isso inverteu o sentido da desigualdade.

Passo 5

Agora, sabemos que 1m < 1n . Quando temos duas frações positivas, se o denominador aumenta, o valor da fração diminui. Então, como , temos que:
Isso confirma a desigualdade que chegamos anteriormente.

Resposta

Portanto, provamos que se , então .

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