Escreva a equação reduzida da elipse, dados: 9 y^2-4 x^2=36

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever a equação reduzida de uma elipse a partir da equação dada: . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente o estudo das cônicas, e vamos precisar entender como transformar uma equação geral de uma cônica para a sua forma padrão ou reduzida.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se a equação dada realmente representa uma elipse. A forma geral de uma elipse é , onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No entanto, a equação que temos é , que na verdade representa uma hipérbole por causa do sinal negativo entre os termos.
Mas o enunciado falou em elipse, então talvez tenha ocorrido um erro na formulação. Vamos supor que o sinal certo seja positivo, ou seja, , que simifica uma elipse.

Passo 3

Agora, para chegar à equação reduzida (forma padrão) da elipse, precisamos dividir todos os termos da equação por 36, que é o termo isolado no lado direito:
9y^236 + 4x^236 = 3636
Simplificando cada fração:
y^24 + x^29 = 1

Passo 4

Prontinho! Essa é a equação reduzida da elipse. Aqui, significa que o semi-eixo menor é 2 (pois ) e indica que o semi-eixo maior é 3 (já que ). Essa forma facilita identificar as características principais da elipse, como os comprimentos dos eixos e o seu centro, que nesse caso está na origem .

Resposta

A equação reduzida da elipse é .

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