Prove que \|\vec{u} \pm \vec{v}\| \geq\|\vec{u}\|-\|\vec{v}\| \|, para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v} do plano (use a desigualdade triangular).

Passo 1

O enunciado dá two vetores quaisquer \vec{u} e \vec{v} no plano e pede para provar a desigualdade
\|\vec{u}\pm\vec{v}\|\ge \|\vec{u}\|-\|\vec{v}\|.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existem dois vetores \vec{u} e \vec{v} arbitrários (não há restrição sobre direção ou módulo).
  • A norma \|\cdot\| é a norma euclidiana usual (módulo do vetor).
  • O objetivo é mostrar a desigualdade para ambos os sinais + e -.

Passo 2

Lembrando o que é a norma euclidiana e sua propriedade básica:
  • Para um vetor \vec{w}, a norma é definida por \|\vec{w}\|=\sqrt{\vec{w}\cdot\vec{w}}. Isto mede a “distância” do vetor à origem e é sempre não negativa.
  • Uma propriedade chave que vamos usar (a ferramenta pedida) é a desigualdade triangular: para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b} vale
\|\vec{a}+\vec{b}\|\le \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|.
Interpretação rápida: em geometria, o comprimento do lado de um triângulo formado por \vec{a} e \vec{b} somados não pode exceder a soma dos comprimentos dos dois lados.

Passo 3

Agora vou aplicar a desigualdade triangular de forma esperta. Observe que se escolho \vec{a}=\vec{u}\pm\vec{v} e \vec{b}=\mp\vec{v} então
\vec{a}+\vec{b}=(\vec{u}\pm\vec{v})\mp\vec{v}=\vec{u}.
Aplicando a desigualdade triangular a \vec{a} e \vec{b} obtemos
\|\vec{u}\|=\|\vec{a}+\vec{b}\|\le \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|.

Passo 4

Substituindo \vec{a}=\vec{u}\pm\vec{v} e \vec{b}=\mp\vec{v} na desigualdade do passo anterior e usando que \|\mp\vec{v}\|=\|\vec{v}\|, temos
\|\vec{u}\|\le \|\vec{u}\pm\vec{v}\|+\|\vec{v}\|.
Essa desigualdade vale tanto para o sinal + quanto para o sinal -, porque a escolha dos sinais acima já os cobre.

Passo 5

Agora basta isolar \|\vec{u}\pm\vec{v}\|. Subtraindo \|\vec{v}\| de ambos os lados da desigualdade do passo anterior obtemos
\|\vec{u}\|-\|\vec{v}\|\le \|\vec{u}\pm\vec{v}\|.
Isto é exatamente a desigualdade pedida:
\|\vec{u}\pm\vec{v}\|\ge \|\vec{u}\|-\|\vec{v}\|.

Passo 6

Comentário didático rápido (para fixar): geometricamente, a desigualdade diz que somar ou subtrair \vec{v} de \vec{u} não pode produzir um vetor cujo comprimento seja menor do que a diferença entre os comprimentos de \vec{u} e \vec{v}. Se quiser ver com números: tome \vec{u}=(3,4) (então \|\vec{u}\|=5) e \vec{v}=(1,0) (então \|\vec{v}\|=1). Calculando,
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}\approx5{,}657\ge 5-1=4,
\|\vec{u}-\vec{v}\|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx4{,}472\ge 5-1=4.
Funciona na prática também.

Resposta

\|\vec{u}\pm\vec{v}\|\ge \|\vec{u}\|-\|\vec{v}\|

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