Prove que
, para quaisquer vetores
e
do plano (use a desigualdade triangular).
Passo 1
O enunciado dá two vetores quaisquer
e
no plano e pede para provar a desigualdade
Informações relevantes fornecidas:
- Existem dois vetores
e arbitrários (não há restrição sobre direção ou módulo). - A norma
é a norma euclidiana usual (módulo do vetor). - O objetivo é mostrar a desigualdade para ambos os sinais
e .
Passo 2
Lembrando o que é a norma euclidiana e sua propriedade básica:
- Para um vetor
, a norma é definida por . Isto mede a “distância” do vetor à origem e é sempre não negativa. - Uma propriedade chave que vamos usar (a ferramenta pedida) é a desigualdade triangular: para quaisquer vetores
e vale
Interpretação rápida: em geometria, o comprimento do lado de um triângulo formado por
e
somados não pode exceder a soma dos comprimentos dos dois lados.
Passo 3
Agora vou aplicar a desigualdade triangular de forma esperta. Observe que se escolho
e
então
Aplicando a desigualdade triangular a
e
obtemos
Passo 4
Substituindo
e
na desigualdade do passo anterior e usando que
, temos
Essa desigualdade vale tanto para o sinal
quanto para o sinal
, porque a escolha dos sinais acima já os cobre.
Passo 5
Agora basta isolar
. Subtraindo
de ambos os lados da desigualdade do passo anterior obtemos
Isto é exatamente a desigualdade pedida:
Passo 6
Comentário didático rápido (para fixar): geometricamente, a desigualdade diz que somar ou subtrair
de
não pode produzir um vetor cujo comprimento seja menor do que a diferença entre os comprimentos de
e
. Se quiser ver com números: tome
(então
) e
(então
). Calculando,
Funciona na prática também.