a) Ache o polinômio característico, os autovalores e autovetores.
(b) Ache bases ortonormais para os autoespaços associados a cada autovalor.
(c) Ache uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que \mathrm{P}^{\wedge} \mathrm{t} . \mathrm{A} . \mathrm{P}=\mathrm{D}
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
e pede:
(a) o polinômio característico, os autovalores e autovetores;
(b) bases ortonormais para os autoespaços associados a cada autovalor;
(c) uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que P^{\top} A P = D.
Informações relevantes fornecidas:
A é uma matriz 2\times2 com entradas iguais a 1.
Não há outras informações adicionais no enunciado.]
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico. Lembre que, para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o polinômio característico é \det(A-\lambda I)= (a-\lambda)(d-\lambda)-bc. Aplicando isso a A:
que implicam y=-x. Portanto os vetores próprios associados a \lambda=0 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Podemos escolher v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} como autovetor representativo.]
Passo 6
Explicando um pouco: um autovetor é qualquer vetor não-nulo v tal que Av=\lambda v. Cada autovalor tem um espaço próprio (autoespaço) formado por todos os autovetores associados a ele mais o vetor zero. Aqui cada autoespaço é uma reta (dimensão 1), gerada pelos vetores que encontramos.
Passo 7
Para obter bases ortonormais dos autoespaços (item b) precisamos normalizar os vetores que geram os autoespaços e verificar que são ortogonais entre si.
Calcule a norma euclidiana de v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}:
Logo u_1 e u_2 são ortogonais e cada um tem norma 1. Portanto cada conjunto formado pelo único vetor unitário é uma base ortonormal do respectivo autoespaço:
autoespaço de \lambda=2: base ortonormal \{u_2\};
autoespaço de \lambda=0: base ortonormal \{u_1\}.]
Passo 8
Agora construímos a matriz ortogonal P cujas colunas são autovetores ortonormais. Convém colocar os autovetores na mesma ordem que os autovalores em D. Vou colocar na ordem \lambda_2=2 primeiro e \lambda_1=0 segundo (isso é uma escolha; qualquer ordem consistente entre P e D funciona).
Note que P^{\top}P=I, isto é, P é ortogonal, porque suas colunas formam um conjunto ortonormal.]
Passo 9
A matriz diagonal D deve conter os autovalores na mesma ordem das colunas de P. Como colocamos \lambda_2=2 na primeira coluna e \lambda_1=0 na segunda, temos
Mostramos que P^{\top} A P = D. Uma maneira conceitual rápida: como Av_i=\lambda_i v_i para cada coluna v_i de P, vale A P = P D. Multiplicando à esquerda por P^{\top} e usando P^{\top}P=I resulta P^{\top}A P = D.
Para confirmar com as colunas concretas:
A u_2 = A\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^{\top}\big)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(2,2)^{\top}=2 u_2.
A u_1 = A\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^{\top}\big)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(0,0)^{\top}=0\cdot u_1.
Portanto A P = P D e assim P^{\top} A P = D. Se for desejado, pode-se multiplicar explicitamente e verificar as entradas, mas a propriedade acima é suficiente e direta.
Resposta
(a) Polinômio característico: \lambda^2-2\lambda.
Autovalores: \lambda=0 e \lambda=2.
Autovetores: para \lambda=2 qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}; para \lambda=0 qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
(b) Bases ortonormais dos autoespaços:
Para \lambda=2: \left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Para \lambda=0: \left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.
(c) Uma escolha de P ortogonal e D diagonal com P^{\top} A P = D: